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1、柯西不等式单元测试题（1）姓名班级一、选择题：1. 已知a,bwR,a2+b2=4,则3a+2b的最大值为（）A.4B.213C.8D.92. 设x,y,m,n0,且?+?=1,则u=x+y的最小值是()xyA.(m+n)2B.m+nC.m+nD.(m+n)23. 若a,bwR,且a2+b2=10,贝9ab的取值范围是()5A.-25,25B.-210,210C.-10,10D.-5,4. 已知4x2+5y2=1,则2x+5y的最大值是()A.2B.1C.3D.95. 已知x,yGR+，且xy=1,则1+：1+；)的最小值为()1A.4B.2C.1D.4a2b26. 设a、beR，且aMb,P
2、=+,Q=a+b,贝9()+daA.PQB.P三QC.P0,且a+b=1，则2：+：的最小值为；8. 函数y=x-5+26-x的最大值是；9. 设a,b,c,d,m,n都是正实数，P=ab+cd,Q=ma+nc的大小;10. 函数y=2cosx+31-cos2x的最大值为11. 函数y=21-x+2x+1的最大值为.三、解答题：12. 若2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值，并求出最小值点.13. 设a,bwR,若a+b=2,求的最小值.ab14. 已知a1b2+b1a2=1,求证：a2+b2=1.15设a+b=2,求证：印+血运.#参考答案:一、选择题：1. 已知a,bwR,a2+b2=
3、4,则3a+2b的最大值为()A.4B.213C.8D.9答案：B2. 设x,y,m,n0,且?+：=1,则u=x+y的最小值是()xyA.(m+n)2B.m+nC.m+nD.(m+n)2答案：A3. 若a,bGR,且a2+b2=10,则ab的取值范围是()A.25,25B.210,210C.10,10D.5,5解析：*(a2+b2)12+(1)2三(ab)2，|ab|W20=25,.abw25,25.答案：A4. 已知4x2+5y2=1,则2x+5y的最大值是()A.2B.1C.3D.9解析：V2x+5y=2x1+5y1W2x2+5y212+12=12=2.2x+5y的最大值为2.答案：A5
4、. 已知x,yGR+，且xy=1,则1+：1+；)的最小值为()1A.4B.2C.1D.4解析：(1+(1+：三1+2=4,故选A.xA丿xyj答案：A6. 设a、beR,且aMb,P=+,Q=a+b,贝9()+daA.PQB.P三QC.Pa+b.即PQ.答案：A、填空题：7. 已知a,b0,且a+b=1,则2&+匕的最小值为.解析：Ta+RaTCa+b71,1丫2丿#=2+2.3答案：2+28.函数y=x5+26x的最大值是.解析：根据柯西不等式，知y=1Xx5+2X6xWI2+22Xx52+6x5.#答案：59.设a,b,c,d,m,n都是正实数，P=c,ab+cd,Q=ma+ncbdm+
5、n,#的大小.解析:由柯西不等式,bam+mncam2+ncam+ncb+d=Q.mn#答案：PWQ#10.函数y=2cosx+3lcos2x的最大值为解析：y=2cosx+2lcos2x=2cosx+32sin2xWcos?x+sin2x22+222=22.#当且仅当cosx_2sin?x3232即tanx=2时，函数有最大值22.答案：2211.函数y=21X+2x+l的最大值为.解析：y=21x+2x+1=222x+12x+1W22+1222x2+2x+12=33=3.当且仅当22x1=22x+1取等号.即22x=4x+2,x=0时取等号.答案：3、解答题:12.若2x+3y=1,求4x
6、2+9y2的最小值，并求出最小值点.解：由柯西不等式(4x2+9y2)(12+12)(2x+3y)2=1,/.4x2+9y22-当且仅当2x1=3y1,即2x=3y时取等号.2x=3y,由2x+3y=11x=41ly=6#4x2+9y2的最小值为2，最小值点为(；，6)#13.设a,bGR+，若a+b=2,求的最小值解:(a+b)(a+b=(a)2+(b)2a1+a2a+b卜4当且仅当ala即(a(1丫bj2_2=(1+1)2=4.+bp2-1,即a=b时取等号,a#当a=b=1时,1的最小值为2.#14.已知a1b2+b1a2=1,求证：a2+b2=1.#证明：由柯西不等式，得(albz+bla2)2Wa2+(la2)b2+(lb2)=l.b1b2当且仅当=a时，上式取等号1a2aab=1a21b2,a2b2=(1a2)(1b2).于是a2+b2=1.15.设a+b=2，求证：a8+b8127.证明:a8+b8=(12+12)(a4)2+(b4)2#三；(1Xa4+1Xb4)2(a4+b4)2=12+12a4+b4#=2X4(12+12)(a2)2+(b2)22珂3(1心2+1小)2=；心+2)21=2312+12a2+b2211/|、23X22(a+b)27-#原不等式成立.#
