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1、2009年全国高中数学联赛福建省预赛2009年全国高中数学联赛福建省预赛暨2009年福建省高中数学竞赛由福建省数学学会竞赛委员会主办.由福建省数学学会竞赛委员会组织有关人员负责命题.命题负责人：陈荣斯.试题以普通高中数学新课程标准的内容和要求为主要依据，在方法和能力上有所提高，并适当增加全国高中联赛中二试的内容.试题包括10道填空题，每小题6分；5道解答题，每小题20分.全卷满分160 分.考试时间：2009年9月13日(星期日)上午 9: 00- 11: 30.考试地点：由各设区市组织进行 .预赛由设区市负责，各设区市根据预赛成绩产生本设区市参加复赛的候选学生名单，省数学学会组织相关人员对各
2、设区市选送的候选名单进行审核，最后产生参加复赛的学生名单.同时，省数学学会根据各设区市选送的候选学生的预赛成绩评出福建省数学竞赛一等奖、二等奖、三等奖人选试题一、填空题(每小题6分，共60分)1.已知向量 OP =(2cos(三+ x),-1), OQ = (-sin(- - x), cos2x) , f (x) = OP OQ .若 a、 22b、c分别是锐角ABC中角A、B、C的对边，且满足f(A)=1, b + c = 5+3&, a;而, 则.ABC的面积S=.1 -2 .设a T ,变重 x?两足x +ax -x ,且x+ax的取小值为 一一，贝U a =_.23 .已知5个不同的实
3、数，任取两个求和得到10个和数，其中最小的三个和数依次为32、 36、37,最大的两个和数为 48和51,则这5个数中最大的数等于 .4 . 一个直径AB=2的半圆，过A作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S,使AS = AB , C为半圆上一个动点，M、N分别为A在SB、SC上的射影.当三棱锥S - AMN的 体积最大时，SC与平面ABC所成角的正弦值是5 .若定义在 R上的奇函数 y = f(x)的图象关于直线x=1对称，且当0xM1时，1f(x)=loqx ,则万程f (x) =- + f (0)在区间(0 1内的所有实根之和 3为.6 .平面直角坐标系xOy中，直线l1 : 4x+5
4、y=20与x轴、y轴分别交于点A、B,直线l2 与线段A B、O能别交于点C、D ,且平分 AOB的面积，则CD2的最小值 为.7 .若对于任意的实数x ,函数f(x)=x2-2x- x-1-a - x-21+4的值都是非负实数， 则实数a的最大值为8 .集合 1,2, 3 III,2009 的元素和为奇数的非空子集的个数为9 .方程x R L9的实数解是.(其中x 表示不超过x的最大整数)210 .满足0 ER 20, i =1,2, 3 4 ,且ki +k3=k2 +k4的有序整数组(Xk 人，k.的个数 为.二、解答题(每小题20分，满分100分)11 .已知f (x)=空1 ,方程f
5、(x) = 4x+8有两个不同的正根，且一根是另一根的3倍.等 3x-1差数列an与bn的前n项和分别为Sn与工，且S-fg) (n=1, 2, 3,).Tn(1)设 g(n)=an (n=1, 2, 3,)，求 g(n)的最大值；bn(2)若a:2,数列他的公差为3,探究在数列与近中是否存在相等的项.若有,求出由这些相等项从小到大排列得到的数列 g 的通项公式；若没有，请说明理由.12 .已知抛物线C的顶点在原点，焦点坐标为F(2,0),点P的坐标为(m,0) (m00)(1)设过点P斜率为1的直线1i交抛物线C于A、B两点，若m0, P关于原点的对 称点为Q.求QAB面积的最大值.(2)设
6、过点P斜率为k (k*0)的直线l2交抛物线C于M、N两点，在x轴上是否存 在一点T ,使得TM、TN与x轴所成的锐角相等？若存在，求出点 T的坐标；若不存在，请 说明理由.13 .如图，OO与线段AB相切于点M ,与以AB为直径的半圆相切于点E. CD _L AB于 点D , CD与以AB为直径的半圆交于点C ,且与。相切于点F ,连接AC、CM.求证：(1) A、F、E三点共线；(2) AC = AM ;2(3) MC =2MD MA .(第13题)14 .设 xi w 衣一1, J2+1 , i =1 ,2 ,川，2010 .令 S = x1x2 x3x4 I |l x2009x2010
7、 .(1) S能否等于2010?证明你的结论；(2) S能取到多少个不同的整数值？15 .已知正实数a、b、c满足a+b+cE3.求证:(1) 3(2)a(a 2) b(b 2) c(c 2)解答1.由条件知所以 sin(2A_) =1, sin(2A-)=.442又因为A为锐角，=2A-“ 3,因此2A-, A=”.444444因为 b+c = 5+3M, a=A,所以13 =b21_若aw(a+1),即a2,则f (x)在x =一且处取最小值-,因止匕里=1，a = 土衣 22442(舍去). 综上可知a =-3.23. 设这 5个数为 a b cd e ,贝U a+b =32 ,a+c
8、=36 ,c+e= 48 , d+e= 51 ,下面说明 b c =37.因为 cb =4 , dc = 3, d b =7 ,所以a+d =(a +b) +(d -b) =39 ,故b +c=37.所以 +c2 2bccosA = (b + c)2 2bc 2bccosA ,即13 = 43 30、. 2 -(2 ,2)bc.所以bc=15夜，AABC的面积_ 1. .1 ,- .2 15S bcsin A15、. 2 = .222222.由 a -1 及 x2+ax Wx ,得 0WxW(a+1).设 f (x) =x2 + ax = (x+旦)2a24a右一一下-(a+1),即2a1,贝
9、U f (x)在 x =-(a+1)处取取小值 f(一a-1) = a + 1,因此 22a =(a +b)+(a +c) (b+c) = 31 , 故 a =15.5,b =16.5, c=20.5, e=27.5 ,d =23.5,即最大的数为 27.5.4 .易知BC 10SAC ,所以BC _LAN ,从而AN，面5801所以 AN 1SM ,因此 SM AMN , VSMN = SM SAANM .3由SA=AB =2,得AM =SM =应，而AN _L NM , AMN为斜边长为72的直角三角 形，面积最大在AN =MN =1时取到.所以，当三棱锥 S-AMN的体积最大时，AN=M
10、N=1,此时，ZSCA = 60S, SC与平面ABC所成角的正弦值是 .25 .函数y = f(x)的图象关于直线x=1对称，以及f(x)奇函数知，f (x + 2)= f(x) = f (x), 因此f(x+4) = -f(x+2)= f(x), f(x)是周期函数，4是它的一个周期.11由f(x)是定义在R上的奇函数，知f(0)=0,万程f(x)=-+ f(0)化为f(x) = -1.3311结合图象可知，f (x)=-在(0 ,1)、(1,2)内各有一个实根，且这两根之和为2; f(x) = -331 .在(4,5)、(5,6)内各有一个实根，且这两根之和为 10; f(x) =在(8
11、,9)、(9 ,10)内各有一3个实根，且这两根之和为18.1所以，万程f(x)=- +f(0)在区间(0,10)内有6个不同的实根，这6个实根之和为30.36.由条件知，OA=5,OB=4, AB = T41.设 / BAO =日，则 cos日. .41由 SAOB =2S/xacd ,得八1 八5 41AC AD AB AO =.22由余弦定理，得CD2 =AD2 AC2 -2 AD AC cos-2AD AC -2AD AC cos15 41 -25当AD = AC时等号成立.所以，CD2的最小值为5741-25.2 -0 -,解得-2 a 1.f(0) - -当 a=2时，f(x)=x
12、2-2x- x + 1f(x) =-x-2 +4 , x2 3,2x2 -2x 1,2x -4x 5,x ： -1,-1x0.若x之3,则xS3,从而x11之33 = 27 a9 .2若 0Hx2,则 0Mx2,从而 x k122 =4 .2所以2 Ex (j -m, )j 0 fj共 mm1 组.当 20 m 40 时，满足 x+y=m,且 0Ex,yE20 的非负整数解 (x , y)= (j, m- j), m -20 j 20 ,共 40-m 十1 组.所以，满足k1 +k3 =k2 +k4的解共有2040、(m 1)2 - 二：(40-m 1)2 =2 - 20 21 41 212
13、=6181.m =0m =21611 . (1)由 f(x)=4x+8得，ax1= 4x+8,整理得 3x -1设x1、x2是方程的两根，且& =3x1，则所以x, a=4, 2f (x)=4x 13x-1因为SnTn4n 13n -14(2n-1) 1 8n-3 47T2n_1， ， al& ，3(2n-1)-1 - 6n-4 - 3 3(6n -4)5所以n=1时，g(n)取取大值.2(2)由(1)知，%=5,包= 13,结合4=勺，数列由的公差为3,知b1=1, b2=4, 口 2 b28213 一a2 = 2,所以58n -3an = +4(n 1)=,2 2bn =1 3(n-1)=3n-2.若在数列an与bn中存在相等的项，设am=bk(m、k为正整数)，则8m二3 = 3k-2 .整2理得6k-8m =1.由于6k-8m为偶数，而1为奇数，故上述方程无正整数解.所以，在数列an与bn中不存在相等的项.13. (1)由条件知，抛物线C的方程为y2=8x,直线I1的方程为y = x-m,点Q的坐标为(-m,0).由 1y2*m,得y =8xx22(m+4)x+ m2 = 0.
