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1、第二节偏导数要求：掌握二元函数偏导数的概念并了解其几何意义。熟练地求出多元函数的一，二阶偏导数。重点：二元(三元)函数偏导数的计算。难点：求分段函数分段偏导数，函数的连续，偏导数存间关系。作业：习题82(P)1,4,5,6,7,9205)6)8)2)3)2)一二元函数增量设函数zf(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，当x在x取得增量心(Ax丰0),000而yy保持不变时，函数z得到一个改变量0，zf(x+心,y)-f(x,y)x0000称为函数f(x,y)对于x的偏增量.类似地,zf(x,y+,y)f(x,y)y0000称为函数f(x,y)对于y的偏增量.对于自变量分别在x0,y0取得增
2、量心，Ay，而函数z相应的增量，zf(x0Myo+，y)-f(x0,yo)称为函数f(x,y)的全增量.二.偏导数的定义及其计算法问题提出：在研究一元函数时，引入导数是为了精确地刻画函数的变化率，对于二元函数同样要研究其变化率，这要比一元函数问题复杂的多，因为从定义域内某点(x,y)出发,00作为自变量的点(x,y)可沿不同方向变化，一般地讲沿不同方向函数的变化率也各不同，这里我们着重考虑当(x,y)沿着平行于x轴，平行于y轴方向变化时，函数的变化情况.只要x在变动，而y固定为y，则二元函数zf(x,y)变为一元函数z=f(x,y)，它对x的00导数称为二元函数zf(x,y)对x的偏导数.1.
3、偏导数定义定义：设函数zf(x,y)在点(x,y)的某一邻域内有定义，当y固定在y，而x在x0000处有增量,x时，相应地函数有偏增量，zf(x+Ax,y)-f(x,y)x0000#若增量比的极限limxZ二limf（xo，x，yo）-f（xo,yo）x0xx0x存在则称此极限值为函数z=f(x，y)在点(，yo)处对x的偏导数比|xx=x0y=yof.记为l1，1xx=x0尸yoz|xxX0尸y0类似地，函数z=f(x，y)在点(xo,yo)处对y的偏导数定义为竺I=limygyo=limf（y0，y）f（y0）yy0yz|1，1yx=xoyx=xoy=yoy=yo说明z|，f（x,y）yx
4、=xy00oy=yo如果函数z二f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x或对y的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x,y的二元函数，称为函数z=f(x,y)对自变量x或对y的偏导函数，简称偏导数.、z/z、f月f、记(亍)，-T-(-)，z(z)，f(x,y)(f(x,y)xyxyxyxy偏导数f(x,y)就是偏导函数f(x,y)在点(x,y)处的函数值.xooxoo2.偏导数的计算从偏导数的定义看出，求多元函数偏导数，并不需要新的方法，实际上是一元函数的求导问题.女口：二元函数z=f(x,y)，求偏导数斗-时，只要把y暂时看作常数而对x求导数；xf求偏导数斗-时，只要把x暂时看作常数而对y
5、求导数.yzz兀例设二元函数z=f(x,y)=x2sin2y，求，亍，f(1,牙).xyx2zz兀兀-=2xsin2y，-=2x2cos2y，f（1,）=2sin2-=o.xyx22类似地，可定义三元函数的偏导数#f(x,y,z)二limf(x0，x，y0,z0)一f(y0,z0),xx0xf(x,y,z)=limf(分y0仝茅二f(玄肚z。),yy0yzf(x,y,z)二limf(%,Nz0，z)一f(Bz)z0设三元函数u二arctan(xy)z，求偏导数.uz(xy)z1u(xy)zln(xy)#x1,(xy)2z，设z二xy,求证y1,(xy)2z，z1+(xy)2zyxlnxy、，z
6、z证明因为wy-1,=xylnx,xyx1所以方程左边=一yxy1，xylnx=xy,xy=2xy=右边.ylnx练习：求函数u二xy,z二(1+xy)y的偏导数.例4.设函数,x2+y2丰0f(x,y)=x2+y2,0,x2+y2=0求f(0,0)，f(0,0).xy解f(0,0)二limf(x，0)-f()xx0x=lim2=0,x0xf(0,0)=limf(0,y)f(0,0)=li=0.yy0yy0yy在第一节中已经知道这个函数在点(0,0)并不连续，但是它的偏导数存在.值得注意的是：对于一元函数，函数在可导点上必连续，但是对于多元函数这个结论不定成立，如上例中函数在(0,0)偏导数存
7、在，但在(0,0)不连续，因为偏导数存在只能保证动点(x,y)沿平行于x,y轴方向趋于(x,y)时，函数f(x,y)趋近于f(x,y),而不能0000保证动点(x,y)按任何方向趋于(x,y)时，函数f(x,y)都趋于f(x,y).0000#第八章多元函数微分法及应用（2偏导数）#第八章多元函数微分法及应用（2偏导数）就是曲线在点气处的切线气J对X轴的斜率（即对X的变化率）同样偏导数”（Xo,.）lyofy（X。，）tan卩就是曲线在点气处的切线叮对y轴的斜率（即对y的变化率）例5.曲线X2+y2z4在点（2,4,5）处的切线对于x轴的倾角是多少?y40z、/2x、，x,-兀因为tan1()1
8、11，所以0x(2,4,5)4x22x24高阶偏导数定义设函数zf（x,y）在区域D内具有偏导数（它们仍是D上的二元函数），若这两个函数的偏导数存在，则称它们是函数zf（x,y）的二阶偏导数按对变量求偏导数的次序不同，有下列四个二阶偏导数d比、02z()0x0x0x200z02z/(xy)，亍(亍)00f(xy)xx0y0x0x0yxy00z02z()0x0y0y0x其中丽，花称为混合偏导数.同样可引入三阶，四阶n阶偏导数，二阶以上的偏导数称为高阶偏导数.例6设函数zx2yey，求各二阶偏导数.#第八章多元函数微分法及应用(2偏导数)解2xyey=2yey,=2x(ey,yey)=2x(1,y
9、)ey,dx2dxdy=x2(1,y)ey=2x(1,y)ey,=x2(2,y)ey.C2zCyCxcycxdy2从这个例子可看出两个二阶混合偏导数相等，即窘CxcyC2zC2z定理如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续，那CxcyCycx么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.换句话，二阶混合偏导数在连续条件下与求导的次序无关.例7设函数z=fL+(y)，其中f(u)q(y)的二阶导数存在，求学，竽.Cx2Cy2Cz=广(u)Cu=广(u),CxCx0#第八章多元函数微分法及应用(2偏导数)0#第八章多元函数微分法及应用(2偏导数)I=w(y)，奈=f(u驗y川,他)p
10、(y)1例8.验证函数u=，r=x2,y2,z2满足方程rC2uC2uC2u小，=0(称此方程为拉普拉斯方程)Cx2Cy2Cz2证明Cu=1CrCxr2Cx1x=1x=xr2x2+y2+z2r2rr3C2u13xCr13x2=,=,Cx2r3r4Cxr3r5由于函数关于x,y,z的对称性，所以同理可得因此空=丄,空Cy2r3r5C2u13z2C2uC2uC2u+,Cx2Cy2Cz233(x2,y2,z2)+r3r5r3r30#第八章多元函数微分法及应用(2偏导数)练习：思考题0#第八章多元函数微分法及应用(2偏导数)zz1. 若偏导数亍，亍在(x,y)存在，函数z二f(x,y)在点(x,y)是否连续?xy0000zz2. 多元函数偏导数的记号亍(或亍)，能否理解为乙与兀(或歹)的商？xy#
