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1、第5章信号的抽取与插值5.1前言至今，我们讨论的信号处理的各种理论、算法及实现这些算法的系统都是把抽样频率f视为恒定值，即在一个数字系统中只有一个抽样率。但是，在实际工作中，我们经常会s遇到抽样率转换的问题。一方面，要求一个数字系统能工作在“多抽样率(multirate)”状态，以适应不同抽样信号的需要；另一方面，对一个数字信号，要视对其处理的需要及其自身的特征，能在一个系统中以不同的抽样频率出现。例如：1. 一个数字传输系统，即可传输一般的语音信号，也可传输播视频信号，这些信号的频率成份相差甚远，因此，相应的抽样频率也相差甚远。因此，该系统应具有传输多种抽样率信号的能力，并自动地完成抽样率的
2、转换；2. 如在音频世界，就存在着多种抽样频率。得到立体声声音信号(Studiowork)所用的抽样频率是48kHz,CD产品用的抽样率是44.1kHz,而数字音频广播用的是32kHz【i5。3. 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字系统之间传递时，则要求该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而转换；4. 对信号(如语音，图象)作谱分析或编码时，可用具有不同频带的低通、带通及高通滤波器对该信号作“子带”分解，对分解后的信号再作抽样率转换及特征提取，以实现最大限度减少数据量，也即数据压缩的目的；5. 对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造成数据的冗余，这时，希望能在该数字信号的基础上将抽样率
3、减下来。以上几个方面都是希望能对抽样率进行转换，或要求数字系统能工作在多抽样率状态。近20年来，建立在抽样率转换理论及其系统实现基础上的“多抽样率数字信号处理”已成为现代信号处理的重要内容。“多抽样率数字信号处理”的核心内容是信号抽样率的转换及滤波器组。减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的“抽取(decimatim)”，增加抽样率以增加数据的过程称为信号的“插值(interpolation)。抽取、插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。滤波器组，因名思义，它是一组滤波器，它用以实现对信号频率分量的分解，然后根据需要对其各个“子带”信号进行多种多样的处理(如编码)或传输，在另一端
4、再用一组滤波器将处理后的“子带”信号相综合。前者称为分析滤波器组，后者称为综合滤波器组。我们将在本章详细讨论抽样率转换的方法，在第6、第7及第8三章讨论滤波器组问题。5.2信号的抽取设x(n)=x(t)1，欲使f减少M倍，最简单的方法是将x(n)中每m个点中抽取tnTss一个，依次组成一个新的序列y(n)，即(5.2.1)y(n)=x(Mn)n=-x+x现在我们证明，y(n)和x(n)的DTFT有如下关系：Y(ej)=艺1X(ej(e-2k)/m)Mk0证明：由(5.2.1)式，y(n)的z变换为5.2.2)5.2.3)n为了导出Y(z)和X(z)之间的关系，()Jx(n)x(n)=1I0注意
5、，x(n)的抽样率仍示f，1s图5.2.1(a),(b)和(c)所示，抽取的框图如图(d)抽取。)n我们定义一个中间序列x(n):1n=0,M,2M，其它而y(n)的抽样率是f/M。x(n)、s所示。图中符号(5.2.4)X(n)及y(n)如M表示作M倍Y(z)=另y(n)zn=x(Mn)zn#由该图，显然y(n)x(Mn)X(Mn)，这样,Y(z)=艺x(Mn)zn=艺x11n=-wn即Y(z)x(z1/M)1现在的任务是要找到xi(z)和x(z)之间的关系。令p(n)=Ss(n-Mi)为一脉冲序列，它在M的整数倍处的值为1，其余皆为零,i=X)其抽样频率也为f。由1.8节的Possion和
6、公式及DFS的理论，p(n)又可表示为：sp(n)=Sw-knW=e-j2/MMMM(n)zn/M(5.2.5)(5.2.6)k0#因为x(n)x(n)p(n)，所以：1X(z)=艺x(n)p(n)z-n=艺x(n)(zWk-n)1MMnX)n-,即：X(z)=丄刃X(zWk)1MMk0(5.2.7)将该式代入(5.2.5)式，有Y(z)Mwk)Mk0令zej代入此式，即得(5.2.2)式，证毕。(5.2.8)式又常写成如下形式(5.2.8)Y(zM)zWk)MMk0(5.2.9)x(n)/My(n)图5.2.1信号抽取示意图，M=3,横坐标为抽样点数抽取的框图(a)原信号x(n),(b)t(
7、n),(c)抽取后的信号y(n),(d)加。如图5.2.2的(a),(b),(c),(d)及(e)所示。图5.2.2信号抽取后频谱的变化，图中M二3由抽样定理，在由x(t)抽样变成x(n)时，若保证f2f,那么抽样的结果不会发sc生频谱的混迭。对x(n)作M倍抽取得到y(n)，若保证由y(n)重建出x(t)，那么，Y(ej)的一个周期(-兀M,兀M)也应等于x(t)的频谱X(j)。这就要求抽样频率f必须满s足f2Mf。图5.2.2正是这种情况。图中X(ej)的频谱限制在-兀3兀3内,而又正sc好作M=3的抽取，因此Y(ej)中没有发生频谱的混迭，如图(e)所示。但是，如果f2Mf的条件不能得到
8、满足，那么Y(ej)中将发生混迭，因此也就无sc，兀2的范围内仍有值，因此,法重建出x(t)。如图5.2.3(a)所示，X(ej)的频谱在即使作M=2倍的抽取，也必然发生混迭，如图(b)所示。由于M是可变的，所以很难要求在不同的M下都能保证f，2Mf。为此，防止抽sc取后在Y(ej)中出现混迭的方法是在对x(n)抽取前先作低通滤波，压缩其频带，如图(c)所示。1H(ej)=0|2兀其它(5.2.10)令h(n)为一理想低通滤波器，即#如图(d)所示，令滤波后的输出为u(n)，则u(n)=区h(k)x(n一k)k=-w令对u(n)抽取后的序列为y(n)，则y(n)=u(Mn)=艺h(k)x(Mn
9、-k)k=-w5.2.11)(5.2.12a)=区x(k)h(Mn一k)k=由前面的推导不难得出：Y(z)=1X(z1MWk)H(z1MWk)MMMk=0(5.2.12b)Y(ej)=丄X(ej(快)m)H(ej(央)m)Mk=0u(n)的频谱V(ej)如图(e)所示，Y(ej)如图(f)所示。由该图可以看出，加上频带为(-兀M,兀M)的低通滤波器后，可以避免抽取后频谱的混迭。因此，在对信号抽取时，抽取前的低通滤波一般是不可缺少的。在图5.2.3(f)中使用了变量“”，现对此稍作解释。y在一个多抽样率系统中，不同位置处的信号往往工作在不同的抽样频率下，因此，标注该信号频率的变量“”也就具有不同
10、的含义。例如，在图5.2.1(d)中，若令相对Y(ej)的圆周频率为，相对对X(ej)的圆周频率为，则和有如下关系：yxyx，2兀ff，2兀f(fM)，2兀Mff，M(5.2.13)yyssx若要求K，则必须有nM,这正是(5.2.10)式对H(ej)频带所提要求的原y1x因。同时使用和两个变量固然能指出抽取前后信号频率的内涵，但使用起来非常不yx方便。故在本书中，除非特别说明，在抽取前后及下一节要讨论的插值前后，信号的圆周频率统一用表示之。只要搞清了抽取和插值前后的频率关系，一般是不会混淆的。图5.2.3先滤波再抽取后的频谱的变化，图中M=2(a)X(ej)，(b)没滤波就抽取得到的Y(ej
11、)，(c)信号抽取框图，(d)H(ej),(e)V(ej)，(d)滤波后再抽取得到的Y(ej)5.3信号的插值如果希望将x(n)的抽样频率f增加L倍，即变成Lf，那么，最简单的方法是将x(n)ss#每两个点之间补L-1个零。设补零后的信号为(n),则(n)厂x(nL),0n0,L,2L,其它(5.3.1)#如图5.3.1(a)和(b)所示。图5.3.1信号的插值(a)原信号x(n)，(b)插入L-1个零后的(n)，L3。现在来分析x(n)、(n)各自DTFT之间的关系。由于艺x(nL)e-jranV(e妙)艺(n)e-jnnny)区x(k)e-jrakLkX)即同理V(ejra)X(ejraL
12、)V(z)X(zL)(5.3.2)(5.3.3)式中，V(ejra)和X(ejra)都是周期的，X(ejra)的周期是2兀，但X(e)的周期是2兀L这样，V(ej)的周期也是2兀L。(5.3.2)式的含意是：在兀兀的范围内，X(ea)的带宽被压缩了L倍,因此，V(ej)在兀兀内包含了L个X(ej)的压缩样本，如图5.3.2所示。#图5.3.2插值后对频域的影响，L2(a)插值前的频谱，(b)插值后的频谱由该图可以看出，插值以后，在原来的一个周期(兀兀)内，V(ea)出现了L个周期，多余的L-1个周期称为X(e；o)的映像，我们应当设法去除这些映像。实际上，图5.3.1用塞进零的方法实现插值是毫
13、无意义的，因为补零不可能增加信息。自然，我们需要用x(n)中的点对这些为零的点作出插值。实现插值的方法是用(n)和一低通滤波器作卷积。为此，令I1兀其它(5.3.4)式中c为常数，是一定标因子。令(n)通过h(n)后的输出为y(n)，如图5.3.3所示。图5.3.3插值后的滤波这样，滤波器的作用即是去除了V(ea)中多余的映像，另一方面，也实现了对(n)中零值点的插值。因为Y(e)H(e)=cX(e)IIW兀L及y(0)丄卜Y(ej)d2兀_K所以y(0)=JlX(enL2兀_兀L，兀X(ej2兀Lc，丁x(0)L#这样，若取c,L，则可保证y(0),x(0)o现在，我们来分析一下图5.3.3
14、中的时域关系。由(5.3.1)式，有y(n)=u(n)*h(n)二u(k)h(n_k)k，x(kL)h(nk)k(5.3.5)即y(n)，x(k)h(nkL)k，X)5.4抽取与插值相结合的抽样率转换对给定的信号x(n),若希望将抽样率转变为L/M倍，可以按以上两节讨论的方法，先将x(n)作M倍的抽取，再作L倍的插值来实现，或是先作L倍的插值，再作M倍的抽取。一般来说，抽取使x(n)的数据点减少，会产生信息的丢失，因此，合理的方法是先对信号作插值，然后再抽取，如图5.4.1(a)所示。图中插值和抽取工作在级联状态。图(a)中滤波器h(n)，h(n)所处理的信号的抽12样率都是Lf，因此可以将它们合起来变成一个滤波器，如图5.4.1(b)所示。s令LMH)，L0叫，冗)其它则该滤波器既去除了插值后的映像又防止了抽取后的混迭。现在分析一下图5.4.1(b)中各部分信号的关系。由上两节的讨论可知，有|x(nL)(n)=0n
