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1、 1 1(四)函数与导数(2)1(辽宁省锦州市质检)已知函数f(x)axx2xln ab (a，bR，a1)，e是自然对数的底数(1)当ae，b4时，求函数f(x)的零点个数；(2)若b1，求f(x)在1,1上的最大值解(1)当ae，b4时，f(x)exx2x4，f(x)ex2x1，f(0)0，当x0时，ex1，f(x)0，故f(x)是(0，)上的增函数，当x0时，ex1，f(x)0，故f(x)是(，0)上的减函数，f(1)e40，存在x1(1,2)是f(x)在(0，)上的唯一零点；f(2)20，f(1)20时，由a1可知，ax10，ln a0，f(x)0，当x1可知，ax10，f(x)1)，
2、g(x)120，g(x)在(1，)上单调递增，而g(1)0，当x1时，g(x)0，即当a1时，a2ln a0，f(1)f(1)f(x)在1,1上的最大值为f(1)aln a.2(江苏省南通、扬州、泰州模拟)已知函数f(x)ax2cos x(aR)，记f(x)的导函数为g(x)(1)证明：当a时，g(x)在R上为单调函数；(2)若f(x)在x0处取得极小值，求a的取值范围；(3)设函数h(x)的定义域为D，区间(m，)D.若h(x)在(m，)上是单调函数，则称h(x)在D上广义单调试证明函数yf(x)xln x在(0，)上广义单调(1)证明当a时，f(x)x2cos x，所以f(x)xsin x
3、，即g(x)xsin x，所以g(x)1cos x0，所以g(x)在R上单调递增(2)解因为g(x)f(x)2axsin x，所以g(x)2acos x.当a时，g(x)1cos x0，所以函数f(x)在R上单调递增若x0，则f(x)f(0)0；若x0，则f(x)0，则f(x)f(0)0；若xf(0)0，所以f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，0)，所以f(x)在x0处取得极大值，不符合题意当a2a，即g(x)0，所以函数f(x)在(0，x0)上单调递减，所以f(x)0)若a0，注意到ln xx，则ln xx，即ln x2ax222a.当x2时，h(x)0，所以当m2时，函数h
4、(x)在(m，)上单调递增若a0，当x1时，h(x)2axsin x1ln xsin x1ln x0，所以当m1时，函数h(x)在(m，)上单调递减综上所述，函数yf(x)xln x在区间(0，)上广义单调3(20xx全国)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0，故f(x)在(0，)上单调递增若a0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)证明由(1)知，当a0；当x(1，)时，g(x)0时，g(x)0.从而当a0，总有f(x)g(x)求实数a的取值范围；求证：对于x0，不等式exx2(e1)x2成立(1)解由题意得f(x)xa (x0)，令a24，当a240，即2a2时，x2ax10对x0恒成立，即f(x)0对x0恒成立，此时f(x)没有极值点当a240，即a2，当a2时，设方程x2ax10两个不同实根为x1，x2，不妨设x10，x1x210，故x2x10，当xx2时，f(x)0；当x1xx2时，f(x)2时，设方程x2ax10的两个不同实根为x1，x2，则x1x2a0，故x20，x10时，f(x)0，故函数f(x)没有极值点综上，当a2成立
