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1、莆田学院数学与应用数学系高等代数选讲”课程论文题目： 用矩阵的初等变换化实二次型为标准形姓名： 廖丹学号： 410401141莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业 2004 级2007 年 6 月 20 日用矩阵的初等变换化实二次型为标准形041 数本 410401141 廖丹摘要： 本文介绍两种特殊方法：一种是用正交变换化实二次型为标准形，另一种是连续用第三种初等行变换快速将二次型化为标准形 .关键词 ：初等变换 第三种初等阵 非异阵 实二次型标准形1 数域 下任意一个实二 次型 XAX ,总可以 经过非奇异变换 X PY 使 得 nX AXdi yi2,其中di为实数，通常的方法是
2、采用配方法或初等变换法，然而传统的方法i1最大的缺点是不易求矩阵 P .下面介绍一种特殊方法 ,能够快速将原二次型化为标准形，一举求出非异阵P.定义1.1以Tjg表示将单位矩阵的j行（列）的k倍加到i行（列），所得到的第三种初 等阵.d00 A1定理1.2设A是n阶实对称阵，P是有限个第三种初等阵Tj（k）,i 1的乘积.且d1 aPA 0 A其中a是n 1维行向量A是n 1阶阵，则必有PAP证明：由于P是Tj（k）的乘积，且i 1,根据矩阵的乘法规则，用P右乘P A时，PA的d1第一列元素不变，从而PAP 1，即A是实对称的.0 A1PAP 亦为实对称阵0这个定理实质上就给出矩阵A化标准形,
3、求出变换矩阵P的一种方法，只要连续使用第三种初等变换即可把A化为上三角形.现作矩阵 A,E找出P使diP A,E PA,Pdr0,P 则这个P的转置阵就是我0们要找的非异阵 P,它使PAP为对角阵.即只要对 A,E作有限次第三种初等变换Tjj（k）, i j ,则当把A变换成上三角阵时，A,E的E就同时化为P ,且使diP APdr0112例1求非异阵P，使P AP为对角阵，其中A110 .202解112100112 100A,E110010r2 r1022 110r3( 2)1202001202 00111210011210002211032022110022201000111111故由定理
4、知P011.0011 0 0PAP 0200 0 0例2将实二次型2x26 x2 x32XjX3化为平方和.解：此二次型的系数矩阵 A0 1 1103 , A的主对角元素全是0,故不能立即引用130定理,需先对A作初等行变换及其相应的列.使经过如此变换后得到的新合同阵的主对角有非零数，然后再用定理即可110 0A,E3 0 102 1103 010r34r22 1103 0101r2 2r1r312 2 111则 2xx2 6x2x3 2xx3,P APPY,2y21122y2小26y 3.2 .若要求一正交阵P使PAP成对角阵，这等价于经过正交变换 X PY将二次型XAX化为标准形.一般步骤
5、是通过施密特正交化过程来求解，但此方法较为复杂，下面介绍用解一些齐次线性方程组的方法来化实二次型为标准形定理2.1设A为n n阶矩阵，秩A r,且人n列初等变换B；nQn(n 1)其中En*pn(n 1)B是秩为r的列满秩矩阵，则矩阵P所含n r个列向量就是齐次线性方程组 AX 0的一个基础解系.证明：-秩A r存在可逆的n级矩阵RP2FS使AF|P2|FSBn*r,0，其中Bn*r是秩为的列满秩矩阵同理：EnRP2PsEn*r ,En*(n r)，其中En*r表示秩为r的每一列有且只有一元素为1的列满秩矩阵，Eny r)表示秩为n r的每一列有且只有一元素为1的列满秩矩阵An*nEnBn n
6、0RP2Fsqp，其中 QnnEn r， RnEn (n r)Qn nU (n 1)由于AX0的解向量个数为n r，而Pn (n r)为秩为n r的列满秩矩阵再由初等变换原理易知:矩阵P所含n r个列向量就是齐次线性方程组 AX0的一个基础解系.定理2.2矩阵A的特征矩阵A经列的初等变换可化为下三角的矩阵B ，且B的主对角线上元素的乘积的多项式的根恰为A的所有特征根.此定理证明与定理1.2相仿,故省去.下面探讨计算方法：AB设AE A且列初等变换，其中B为下三角矩阵，则BEA的主对角线上的全部元素的 多项式的全部根恰为矩阵 A的全部特征根，对于矩阵A的每 一特征根i，若矩阵B 中非零向量的列构
7、成列满秩矩阵，那么矩阵P i中和B i中零向量所对应的列向量是属于特征根i的全部线性无关的特征向量；否则继续列初等变换使得B i中非零向量的列构成列满秩矩阵,那么P i中和B i中向量对应的列向量是属于特征根i的全部线性无关的特征向量.设所求出的特征向量11川依川il| iki| sl| Sks，它是一组线性无关的向量，以ij 为列向量构成矩阵B j ,则BB是一个n阶正定矩阵，必与单位矩阵正合同，即存在n 阶可逆矩阵Q,使得Q BB Q 卅1即 QB BQ21式说明：对矩阵B B施行一系列的列初等变换，（相应的初等矩阵的乘积为 Q）及一系列的行初等变换（相应的初等矩阵的乘积为 Q ），可化为
8、单位矩阵；（2）式说明：BQ的列向量组是一个标准正交基，BQ可以通过对矩阵B施行与对矩阵BB 所施行的相同的初等变换求出.、 BB E、一、一一于是得到求正交矩阵的初等变换法对B B施行列初等变换，对B施行行B BQ142 2初等变换.实际上将BB化为E,可先用=分别乘以an所在的行和列使an变成1;再施 以列初等变换把an所在行其他元素化为0,又施以行初等变换把an所在列的其他元素化 为0，按此法,依次把a22|,，|ann变为1.其它元素变为0,那么矩阵BQ即为所求的矩阵P,例1求正交矩阵P使PAP为对角阵，其中A 242A解：E420矩阵A的特征根为4222 42224100010001
9、22 8 1221100100100001 非零向量的列构成满秩矩阵，对应零向量的向量0111122 （二重），8.20 11 1 ， 2 11 21当28时，同法求出对应特征向量31 ， 1 , 2 , 3是无关的，以1, 2, 3为列向量构1成矩阵B,再求出BB于是得:2 303 60BB003B01111112100113131 且有P AP2 .6参考文献：1 北大高等代数M.高等教育出版社，1989.112 北大数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数M.高等教育出版社，1987.33 王琳.用正交变换化实二次型为标准形方法研究J.数学通讯，1990 （ 3）4 牟俊霖、李青古.洞穿考研数学M.航空工业出版社，2005.32
