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1、向量法求空间角1 .（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形A6C。为正方形，四边形A。尸。是直角梯形，ADLDP. CD1B ADPQ,.A （1）求证：尸Q_L平面OCQ；（2）求平面8C。及平面AOPQ所成的锐二面角的大小.2 .（满分13分）如图所示，正四棱锥P一中，0为底面正方形的中心, 侧棱及底面所成的角的正切值为争1 / 19（1）求侧面及底面所成的二面角的大小;(2)若E是的中点，求异面直线及所成角的正切值；(3)问在棱上是否存在一点F,使JJ则面，若存在，试确定点F的位 置；若不存在，说明理由.3 .(本小题只理科做，满分14分)如图，已知AB_L平面ACD, DE/
2、AB, ZiACD是正三角形，AD=DE=2AB,且F是CD的中点.(1)求证：AF/平面BCE；(2)求证:平面BCE_L平面CDE ;(3)求平面BCE及平面ACD所成锐二面角的大小.3/194 .(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-A5C。中，尸。，底面A5C。, 且底面A5C。为正方形，40=尸O=2,E,fG分别为PCPDC5的中点.(1)求证：AP平面G;(2)求平面GEF和平面。石尸的夹角.5 .如图，在直三棱柱中，平面46C_L侧面4/6耳且AAt = AB = 2.(I )求证：AB IBC；(H)若直线及平面A6C所成的角为。，求锐二 6面角A-AC-5的大小.参考答案1
3、. (1)详见解析；(2)工 4 【解析】试题分析：(1)根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知，DAf DP, OC两两垂直，可以。为原点，DA. DP、0 c所在 直线分别为x轴、)，轴、z轴建立空间直角坐标系.表示出图中各点的坐标: 设45=。,则0(0,0,0), C(0,0,a), 0(%，0), P(0,2%0),则可表示出 DC = (0,0. a) f DQ = (a ,a ,0) , PQ = (a a ,0) 9 根据数量积为零及垂直 的充要条件进行证明，由反而=0,诙.苑=0,故皮_Lm，DQLPQf 即可证明；(2)首先求出两个平面的法向量，其中由于皮
4、_L平面AQP0, 所以可取平面AOP。的一个法向量为 = (0,0,1)；设平面5CQ的一个法向 量为无=(x,y,Z)，则无-二。，n2 - QC = 0 ,故即取 y=z = l，则 x = 0, 故网=(0,1,1),转化为两个法向量的夹角，设田及网的夹角为6,则 cs8 =，W = 3 = e.即可求出平面8C。及平面AOPQ所成的锐二面 |%|%| J2 2角的大小.试题解析：(1)由已知，DA, DP, OC两两垂直，可以。为原点，DA DP、OC所在直线分别为x轴、) 轴、z轴建立空间直角坐标系.设 45=则。(0,0,0), C(0,0,), (a,4，0), P(0,2a
5、, 0), 故皮= (0,0,a), DQ = (a,a,0) , PQ = (a a ,0) f因为比质=0, DQPQ = Of故反_L而，DQlPQfB|J DCLPQy DQYPQ, 又OCPIQ0 =。所以，PQ_L平面OC0.# / 19(2)因为比_L平面AOPQ,所以可取平面AOP。的一个法向量为 4 = (0,0,1),点 B 的坐标为(4,0,4),则 QB = (0, , a)， QC =(-。, ，), 设平面6c。的一个法向量为万2 = (x,y,z),则用0 = 0, n2QC = 0f 故即取y = z = l,贝曦=0,故万? = (0,1,1).设瓦及万，的夹
6、角为巴 则(：3夕=旦 = 3 =也.川冈行 2所以，平面6C。及平面A。尸。所成的锐二面角的大小为工 4考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线及平面的位置关系2. (1) 60。； (2) ; (3) F是的4等分点，靠近A点的位置.【解析】试题分析：(1)取中点M,连接，由正四棱锥的性质知N为所求二面角P。的平面角，N为侧棱及底面所成的角，N= 2 ,设=,则=2 a,=2 a, 2 , / =石，/=60 ; (2)依题意连结，则，故N为异 面直线及所成的角，由正四棱锥的性质易证，平面，故石为直角三角1 1、&A0形，=2 = 2 1PO2 + DO2 =la/=刀=；(3
7、)延长交于N,取中点 G,连，易得_1_平面，故平而_1_平面，而为正三角形，易证_1_平面， 取的中点F,连，则四边形为平行四边形，从而，平面，F是的4等分点， 靠近A点的位置.试题解析：（1）取中点比 连接，依条件可知J_, ,则N为所求二面角P。的平面角 （2分）_L面,/为侧棱及底面所成的角.：.Z = Ji设=, = 2 a,皂= N= 2 a,POZ=MO = a/3 .AZ =60 .（4 分）（2）连接，C,#/19.N为异面直线及所成的角. （6分）V, ,，_L平面.又u平面，J_.- yjpb1 + DO2 = a, 2 24AZ = = .（8 分）EO（3）延长交于N
8、,取中点G,连，.V, _L,._!_平面平面_L平面.（10分）又=,N=60 , J为正三角形._L.又平面C平面=,._L平面.（12分）二.F是的4等分点，靠近A点的位置 （13分）考点：立体几何的综合问题3. （1）见解析；（2）见解析；（3） 45.【解析】试题分析：（1）取中点P,连接、，根据中位线定理可知，且且，而，且则 为平行四边形，则，Q平面，u平面，满足线面平行的判定定理，从而证 得结论;（2）根据，平面，则，平面，又u平面，根据线面垂直的性质可知DEAF. XAF1CD, CDADE = D,满足线面垂直的判定定理，证得_1平 面，又，则，平面，u平面，根据面面垂直的判
9、定定理可证得结论；（3）由（2）,以F为坐标原点，一所在的直线分别为x, y, z轴建立空 间直角坐标系F-.设2,根据线面垂直求出平面的法向量n,而（0, 0, 1）为平面的法向量，设平面及平面所成锐二面角为a ,根据可求出所求.tz试题解析：（1）解:取中点P,连结、， F为的中点，,，且又，且工,且, 为平行四边形，.又 A尸（X平面u平面， 平面（2）为正三角形，J AF_LCD. ，平面， ._L平面,又u平面，_1.又_1门， .，平面 又，J_平面.又Yu平面,#/19平面J_平面(3)法一、由(2),以F为坐标原点, 所在的直线分别为轴(如图)，建立空间直角坐标系F-.设2,则
10、 C (0,1,0) , 6(/、0、1),乙(0,1,2).设/i = (x,y,Z)为平面的法向量，诋=0,加在=(VJ+y + z = ,令 1,则百=(01,1) 2y + 2z = 0显然，7 = (0,0,1)为平面的法向量.设面及面所成锐二面角为a,m.inm 1 V2)i)cosa = - = 1= =a = 45 .| | | | y/22即平面及平面所成锐二面角为45。法二、延长、，设、交于一点0,连结.则面上6CA面A4C=CO.由是AEQO的中位线，则O = 2A).在XOCD 中OD = 2AD = 2AC, ZODC = 60.0 cle。，又 OC1OE.OC1
11、面EC。,而u 面,OC 1 CE,:. NEC。为所求二面角的平面角在 RtAEDC 中，ED = CD,ZECD = 45即平面及平面所成锐二 面角为45。.考点：及二面角有关的立体儿何综合题；直线及平面平行的判定；平面及 平面垂直的判定.4.证明见解析【解析】试题分析：(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写 出相关点的坐标，从而将儿何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题 的关键.(2)证明线面平行，需证线线平行，只需要证明直线的方向向量 及平面的法向量垂直；(3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角 的余弦值；(4)空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是
12、 要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注 意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中 判定定理及性质定理条件要完备.试题解析：(1)如图，以。为原点，以耳，友,而为方向向量建立空间直角坐标系。-外乙贝lj P(0,0,2),C(020),GQ20),石(0,1,1),尸(0,0,1), A(2Q0).2,0,2)府=(01、0)屈=(1,1-1).设平面EFG的法向量为 =(x, y, z)即令x = 1则=#/19, AP = lx(-2) + 0x0 + lx2 = 0,/. n AP.又AP (Z平面石/G，AP平面EFG.(2) .底面
13、ABC。是正方形，/. ADI. DC, X v PDABCD,囚0_1尸.又尸。0。=。，二4)_1_平面尸。二.向量丽是平面尸CO的一个法向量，方= (2,0,0)又由(1)知平面“G的 法向量 7 = (1,0,1).777 - DA n 22.0.cos =.-= = DA-n 2722二二面角G-石尸-。的平面角为45。.考点：(1)证明直线及平面平行；(2)利用空间向量解决二面角问题.5 . ( I )详见解析；(H) 1.【解析】试题分析：(I)取A6的中点D,连接，由已知条件推导出，平面A6C, 从而AO_L6C,由线面垂直得AA_L8C.由此能证明AB_L 8C. ( H )
14、方法 一：连接，由已知条件得ZACO即为直线AC及平面A6c所成的角，ZAED 即为二面角A 4夕一8的一个平面角，由此能求出二面角A-A。-8的大 小.解法二(向量法)：由(1)知A5_16c且底面46C,所以以点8 为原点，以BC、34 6与所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系 B xyz，设 6c = ,则 4(0,2,0), 5(0,0,0), C(a,0,0) , A (0,2,2), BC = (a,0,0), &( = (0,2,2), AC =(67,-2,0), M = (0.0,2),求出平面46c 的一个法向 量I = (x,y,Z),设直线AC及平面A.BC所成的角为。，则得 5山2=匕2=/ HI . =3,解得4 = 2, B|j AC = (2,-2,0),求出平面44C6 AC ”7/1 2的一个法向量为元= （1,1,0）,设锐二面角4-AC-6的大小为。，则 cos a = cos = 2之=L 且，即可求出锐二面角A-A1C - 8的大小.- MMI 2试题解析：解（1）证明：如图，取A6的中点。，连接A。，因4A = A6,则4O_LA6由平面BC 1侧面AABBl ,且平面A6c A侧面A,A
