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1、第一章函数及其图形例1：设集合”=（彳，-6g我二叽则亚n&=（）.A.x|x3B.x|x-2C.x|-2x 1D.x|x 0,同时由分母不能为零知lnx W0,即x*1。由根式内要非 负可知4-N 20,即要有x0、xwi与9 44同时成立，从而其定义域为（0J）U（L2,即应选。例3:下列各组函数中，表示相同函数的是（）解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当 |x|1时，两函数取得不同的值。 I y / j i?B中的函数是相同的。因为60$?+皿2=1对一切实数x都成立，故应选Bo?C中的两个函数是不同的。因为y =的定义域为xw-1 ,而y=x的定义域为（-00, +
2、oo）0i + l?D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-8, 0） U （0, +OO）和（0, +OO）0例 4:设7） = COS2X,求/，,解：在/（gSR-1） = COSI通令 t=COSx-1 ,得 C0SX = t+l又因为-1 0 cosx0 1,所以有-2 Wcosx-1 00,即-20tW0,从而有/二（x+l）;G-2期。 Si x J, I-工 x 0例 5:沏0 工 2f（2）没有定义。注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。2x例6:函数了 =是（）。1 +产A.偶函数B.有界函数C单调函数D.周期函数. 2（一的 2工 / 1
3、解：由于J（F）= -亍=t =可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（ A）不正i +（-x）31 + r确。由函数在x=0, 1, 2点处的值分别为0, 1, 4/5,可知函数也不是单调函数；该函数显然也不 是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。事实上，对任意的x,由可得/+122工，从而有2x1 。可见，对于任意的x,因此，所给函数是有界的，即应选择Bo例 7:若函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y), 则 f(x)是()。A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.奇偶性不确定I I解：因为 f(x+y尸f(x)+f(y),故 f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0
4、)=2f(0),可知 f(0)=0。在 f(x+y尸f(x)+f(y)中令 y=-x ,得 0=f(0)=f(x-x)=fx+(-x)=f(x)+f(-x)所以有 f(-x)=-f(x),即 f(x)为奇函数，故应选Ao例8:函数了 =的反函数是()。3*+2一?B.一+2y =?D.1-x厂1%/解：3 + 2有39+2y =3、即3P一力=2再3，=豆，4二%生1-y1-j2 T于是，J=log3 是所给函数的反函数，即应选 Co1 - X例9:下列函数能复合成一个函数的是()。A.B - J，- ，二一，二-D,解：在(A)、(B)中，均有u=g(x) C.-1七歌 D. ：22n解：（
5、A）中数列为0, 1, 0, 1,其下标为奇数的项均为0,而下标为偶数的项均为1, 即奇偶数项分别趋于不同的常数值，从而可知该数列没有极限，是发散的。由于 / =R ,故（B）中数列发散。 一RT9由于正弦函数是一个周期为2元的周期函数，当N Too时，n并不能无限趋近于一个确 f ;定的值，因而（C）中数列也发散。由于丽（-12二0 ,故（D）中数列收敛。I2理c 、几 T 卷+4/ +Z 1 n.例 2： 设lirn 一%二一，贝U a=（）*an +3-1 3A.0B.1 C.3D.1/332i - o n +3敖+ 一解：假设a =0,则所给极限为fai- = lim产，其分子趋于8,
6、而分母趋于有I 衿铅 %计3_j_n限值3,所以极限为8,不是1/5,因而窗W0。.148*3 o +当Q w 0时，所给极限为lirn -5 二lirn= 一 ,故应选 Can + 加一 1 -心,-J 1 a a + -n n般地，如果有理函数了,）二sQM，其中片、狗分别为n的k次、l次多项式，那么,当N00时，当k=l时，f（n）的极限为月）、&M）的最高次项的系数之比;当kl时，f（n）的极限为8。P对于当x00 （或+00,8）时x的有理分式函数/。）二#4的极限，也有类似的结果。QG）例3.仃.队:上二;公 nA.0B.1 C. 兀 D. n解利用重要极限1 - ?go x，冗，
7、咒sin sin 用 BM,Mllim sin = lim后二卮 lini二 m , 故应选 C=”9 界 龙ts k三td 网-H-nn可以填入任意以零为极限的表达式(三个类似地，第二重要极限-羸X 任意趋于无穷人的表达式。例4.求向(1-)r &x解法 1.-.1上：!-：舞T加rXT也j限(1-1) =_L)(T+coTMT+i-r解法2二如口 + ；1”(1 +3)7, ? ; ； / ; 1 * f i i ti :-F = lim(l+)=5C=1*T+； -Xl+；才4=10 (1-；)后(1+3产严二专g = 1L.J小I1 1lit -Z-崛上LfL“T+ _LsT* 1 4
8、J?。二层利 E =岑 = 11+(2 1)?国？lirn7 = hm ,二一,故应选 D。先Tm4网上- 14注：第一重要极限Inn 七二1的本质是lirn 则二1 ,这里的口可以想象为一个空的筐子，里面 10 Xgo 口,一 23 、 、. 2(/+x + l)灵犬 + 1) v (27 + 1)(x-1)11/一1 7-I #t1 (X3 - l)(x2 4-x + l) (x-l)(x + l)(x2 +x+l)r 2x + l 1=Inn=川(#+1)(/+工+1) 2注意本题属于公-8”型，是个未定式，不能简单地认为它等于 0或认为是对于此类问题一 般需要将函数进行通分，然后设法进
9、行化简，进而求出其极限值。例 7.当 x0 时，-sin xcosx 是x 的（）。2A.同阶无穷小量B.高阶无穷小量C.低价无穷小量D.较低阶的无穷小量1 ,-sm X cos x .-2力 二十,21 v sin x1?斛： 由于 lim二-limcosx = -M x 2川工2可知!即XCO X是x的同阶无穷小量，所以应选 A。 2例8.当国Too时，与那32等价的无穷小量是（） 2A.1121B. C. D.解：由于可知邦Tea时，盹是和2的高阶无穷小量，同时加口是二.等价的无穷小量，所以选 盟 #3典 典n 2Do例9.下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的是 （）A. -B B B
10、.B. :二一1:V? +1, ： 3 工C. .，.一.二一 T：解：由于所以应选A.J +. _- y例10.要使函数/=在x=0处连续,f （0）应该补充定义的数值是（）A.1/2B.2C.1D.0r 2V 、 r Jl + 不 一 Jl - 彳 1+ x -+ x + V1 - x)lim j (x) = lim= lim -解：-；-122=lim , 二 一 二 1X /1 + z + a/Pz 2要使函数f(x)在x=0处连续，必须有 k/W = MxtO因此要令f(0)=1.故应选C。口z0x . .，例11.设/=左x=O求k,使f(x)连续。1 + xsin z l -.i
11、 I- I .： ktOWmtO+O r ttO+OIJ，J；-又由： 一 i ： - 一.wO-O工可知：, ： ：i .3X例12.证明方程”1 = 0在区间(1, 2)内必有一根。证：令/=X* -X-1 ,由于f (x)是初等函数，它在区间(-00, +OO)上连续，另外f (1) =-10, f (x)在1 , 2上连续，故由零点 存在定理知，存在 我(1,2)使/=0,即方程/f-1 = 0在区间(1,2)内必有 一个根.第三章导数和微分？例1:讨论函数例 2:： ,:二: 1 1 I J： 1tr，0例3:分段函数/(x)= 一 在x = 0处是否连续？是否可导？为什么？ln(l + z) , x0口例 4： 7慰 J.二：数？例 5:了.一；例6： 士二已一 nld*：.?例7：设函数了 = /*),则办=() C:i 、 例 8: 、,一 / I - - - - . I , ：.2例9：设
