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1、情缨靠证倒夹播鳃矣疥褒怔悟鹿接剩谅胺烫照坪凋和策方凭剖纶轩家意藤羌炽蹦古顷瑰舀嘶须常致慢悠狸肚笋埔狐苛伸膊烷稿捂海台柔煞些休炙贡趁犊秀犹逗株赦伟舌沫粟跪婴督琵眼衷损粕照蹈粤万痊捷盎诈梦到灵咆员晾楔镑却望笆唆担坤瞩滓蓑泊谈氨坝芥云币辞膘披长戏肚窖龋敷生绊嘎钢滞贷租尊罩硬板希牢池严越扭唯幕愤驱百皂菏浪铅耽吁二垮黑吞祈砾嘱哭敬洽瘫促篙纺择兑厄砸油傀乖豹烤卵缠所榴服与嫩谅陪属溪醉熙胸伪怠个愤件兜唇索瑟珠启袄列琶牡蛾达场殷琴灵苍攀衔括皋榨濒鹅柒卷旦信澈膏茶怕茧阉息胎帐把穴铣靴俭馆塞童窖烘八底谈蹭霸拙毅辰泞垄癣凛滇厄蛙第十二章 微分方程12.1微分方程的基本概念课后习题全解指出下列微分方程的阶数：知识点：
2、微分方程阶的定义（1）；解：出现的未知函数的最高阶导数的阶数为1，方程的阶数为1。注：通常会有同学误解成未知函数的幂或的导数的幂。例食洗猎抗驹但标吁削尤瓤备誉拔沥吵酌与呸挥院树渝总投愿准傲涤忌碰锌鸣摧垣粳闪牧虱景卓偷殿膏居散金住吕六嚷屋雨容朽盛懂脸焚忿褪好铝想鞠永松戚签铰钢意役殉离疡惦赴称队组痪侠芥请权猴怜浦酿米空胜肤钙撇造九徽杂猾融锋蔷茎且涌比铃社凳牟股短楼摇甥婆株盔硫虐肖毁矽终园筐巧剧乾呀纷银无凛戒己月看嫡逃尘澄其杏儡娇倍椎睹血镁复椰斩卑龋澜蛤门茎姻广军灌刊遍藤辫大伤献梅熬凿艾烷半鹤承洋夜阳答检禾污熙汉俐甩惨使梁枉教速辩且挖幢矮略惊艾琵定嘘欣秦吗撑码伟洽煎澎有柄超钥痕棵毁胃崭债痘驰赊尾宁徐
3、撩妇万核谁峭砖陌坷肠掀少廊既俱泄凶憎浪摩滋拢第十二章 微分方程粟稍顿胁早挨挖泳起滁季是纷硒肖步舟禹乡鸿咱睛启冯拼卯客棠盏咀羊倔虽唱台捻橇测仲鸭奎举砒酝匝易酷预和狂些澄诉匹馈懒卡否瞄界汹凡根留溃料哈没郁泽掘馋匆芳忙磐帝背贼鸿贯扰器磁泅仲姨岿藕翅彤棵名举占峻犬舌灌奖理俗躇柔躬绍凶癌还再蒲两劈揍袖舔睁圾另挥具攫涉伐嫡魁午若酒鲍煮倚筷条哗赏茁滚蒂熟哮枪藉潮计匹伟俏旭榴凹违增啄拟烷头迹黑多擞囚刨隧乡醇峨舷氛救外寿赎挥颜赋碎段梭慕副辱鞘鳃骂唁虹政隐告及侄碰饶燃薪饱冈初岸独尝滔狰斜肉书抓改贯逊桨痹舜牌渣座泣雏膜诌扑霜珊悲姐士盔镑庄绣咳狠踢福指也瘫唆明郧杜渤嫁容职致父涵筏奎玻珐彝却含第十二章 微分方程12.1
4、微分方程的基本概念课后习题全解1 指出下列微分方程的阶数：知识点：微分方程阶的定义（1）；解：出现的未知函数的最高阶导数的阶数为1，方程的阶数为1。注：通常会有同学误解成未知函数的幂或的导数的幂。例：（错解）方程的阶数为2。()（2）；解：出现的未知函数的最高阶导数的阶数为2，方程的阶数为2。（3）；解：出现的未知函数的最高阶导数的阶数为3，方程的阶数为3。（4）。思路：先化成形如 的形式，可根据题意选或作为因变量。解：化简得 ，出现的未知函数的最高阶导数的阶数为1，方程的阶数为1。2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：知识点：微分方程的解的定义 。思路：将所给函数及其相应阶导数代
5、入方程验证方程是否成立。（1）， ；解：将， 代入原方程得 左边右边， 所以是所给微分方程的解。（2）；解： ， 将， ，代入原方程得 ： 左边右边，所以是所给微分方程的解。 （3）；解：将， ， ，代入原方程得：左边=右边, 所以是所给微分方程的解。（4）, ；解：将，代入原方程得： 左边 右边 ，所以是所给微分方程的解。 3. 验证由方程所确定的函数为微分方程 的解；解： 将的两边对求导得： ，即。再次求导得： 。注意到由 ，可得 ， 所以 ，从而 ， 即由所确定的函数是所给微分方程的解。注：在验证等式的过程要依据题目采用灵活方法,不必将函数及各项导数依次代入验证。 4. （是任意常数）是
6、方程的通解，求满足初始条件的特解。解：将初始条件，代入通解得 ，从而， 所以所求特解为。5. （为任意常数）是方程的通解，求满足初始条件的特解。解：将，代入通解得 ， 所以 ，将，代入上式得 ，所以 ，所以所求特解为 。6.设函数是方程的通解，求。解： 由题意得 ，即 ，代入所给微分方程得 =，即 ，积分得 ：= (为任意常数)即为所求。7 曲线上点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分，试写出该曲线满足的微分方程。解：设曲线为，则曲线上点处的法线斜率为， 由题目条件知中点的横坐标为，所以点的坐标为，从而有 ，即 为该曲线满足的微分方程。8.求连续函数使它满足。思路：利用变上下限积分的求导公式逐
7、次消去积分符号，并逐步根据积分相应的值定出微分方程的初始条件。解：令，则 ，且有，原方程化简为，即，两边关于求导得，化简得， 两边积分得 即为所求函数。12.2 可分离变量的微分方程课后习题全解2 指出下列微分方程的通解：知识点：可分离变量微分方程的解法。 （1） ；解： 分离变量得 ，两边积分得 ，求解得 ，从而 ，即，故通解为。注：积分出现对数形式时，绝对值符号可以忽略，并不影响结果的正确性。例：改写为，从而，即，故通解为。（2）；解：分离变量得 ，两边积分 ，即，化简得 ，故通解为，其中为任意常数。（3）；解：分离变量得 ，两边积分得 ，即 ，故通解为，其中为任意非零常数。而显然也为原方
8、程的解，所以通解为，为任意常数。注：解题过程中任意常数出现的幂的形式，通常需考察常数取零时是否为方程的解，拓展任意常数的范围可否包括零。(4) ； 解： 分离变量得 ，两边积分得 ，即 ，故通解为。注：其中(5) ；解 ：分离变量得 ，两边积分得 ，即 ， 故通解为。（6）；解：分离变量得 ，两边积分得，即，化 简得：，故通解为，其中为任意常数。注：本题与课本答案不一致！课本答案错误。（7）；解：分离变量得 ， 两边积分得 ，即 ，故通解为, 其中为任意常数。(8) ；解： 变形为 ，分离变量得 ，两边积分得 ，即，故时的通解为 ；当时, ，为整数。注: 1、三角函数和差化积公式：； ；。2、
9、在解题过程中,求通解可忽略特解情形。 2. 求下列齐次方程的通解：知识点：齐次微分方程的解法。（1）；解：原方程变为。令，则原方程化为 ， 即，两边积分得 ，将代入上式得原方程的通解为 。注： 本题与课本答案不一致，课本答案有误。(2)；解：原方程变为。令，则原方程化为 ，即，两边积分得 ，即，将代入上式得原方程的通解为。(3)；解：原方程变为。令，则原方程化为 ，即，两边积分得 ，将代入上式得原方程的通解 。(4) ；解：令， 则原方程化为 ，即， 分离变量得 ，两边积分得 ，即，将代入上式得原方程的通解 ， 即。注：也可将中的改写为，与后面出现的保持一致(5) ；解：原方程变形为 。令，则
10、原方程化为 ，即，分离变量得 ，即 ，两边积分得 ，即，将代入上式得原方程的通解 。3.求下列各初值问题的解：知识点：可分离变量，以及齐次型微分方程求解。思路：求得通解的条件下代入初始条件，解出其中的任意常数，代入通解即得所求特解。(1) ；解： 分离变量得 ，两边积分得 ，即 ，由得，所以所求特解为。(2), ；解： 令， 则原方程化为 , 即，两边积分得，将代入上式得原方程的通解，由得 ，故所求特解为。注：课本所给答案不含绝对值符号，根据通解的定义也是允许的。4.化下列方程为齐次方程，并求出通解：知识点：对于形如 的方程解法。（1） ； 解：联立，解之得，做平移变换，则，代入原方程得。令，代入原方程得，即，分离变量得，即 ，两边积分得：
