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1、洛书与黄金分割 徐文明* 作者简介 徐文明（1965 ），男，哲学博士，北京师范大学哲学社会学学院副教授，中国人民大学佛教与宗教学理论研究所兼职研究员。（北京师范大学哲学社会学学院，北京，100875）摘 要 本文从数学与哲学的角度对河图、洛书与太极图进行了新的解释，揭示了洛书、太极图与黄金分割的内在联系，指出太极图与河图、洛书是以数学形式表示的宇宙结构图。关键词 河图，洛书，太极图，黄金分割。河图、洛书与太极图是中华文化的源头和象征，也是蕴含着无尽的奥秘而又非常简易的一种图式，为了揭示其内在的意义，多少代人付出了极为艰辛的努力，但迄今并未有一种圆满的解释。作者亦曾于此著力数载，终于十余年前偶
2、有所获，然惟恐所悟偏浅，有违先哲微言大义，又以法不当机，故隐而不发。然思之再三，总觉事关重大，不可不言，故今不辞冒昧，略述浅见。一、 一、 神秘的起源系辞上云：“河出图，洛出书，圣人则之”。顾命传曰：“河图，八卦；伏羲王天下，龙马出河，遂则其文以画八卦，谓之河图。”是故河图洛书带有一定的神秘色彩，传说伏羲之时龙马出于河水（黄河），背负图文，谓之河图；禹时玄龟出于洛水，背负图文，谓之洛书。春秋纬曰：“河以通乾，出天苞；洛以流坤，吐地符。河龙图发，洛龟书感。河图有九篇，洛书有六篇”，即述此事。因此，河图洛书并非只是简单的数字排列，也不是远古时期中华先人的随意创作，而是用最简易的形式表示最深刻的事理
3、的一种图式，或者说是用数字表示的宇宙万物的基本结构图。二、 二、 数与形的意义老子云：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”西哲毕达戈拉斯亦曾揭示数的意义。表明中西先贤都早已认识到了数的意义及其与物（形）的关系。数是一种内在的规律和结构，是无形的内在结构，形是数的外在显现。现代数学深刻地揭示了数与形的关系，利用计算机和现代技术可以做到数与形的相互转换，分形几何（Fractal）即揭示了这一规律。原来我们认为并无规律的山川景物事实上是一种数学结构的显现，通过计算机也可以随意完成数形转换，将并不存在的景物在屏幕上创造出来。这表明任何事相（形）都是数的体现，任何数都可以外现为一定的形物、通过简单的数
4、的排列可以用最简易和形式表现出最深刻、最复杂的宇宙万物的基本结构和外形。我们的先人早就悟出了这一道理，故以河图、洛书这种数的形式表示事物的结构，又以太极图（形）表示事物的外形，以简单的形式表达了复杂的内容。整理为word格式三、 三、 加法（减法）与乘法（除法）的意义数代表事物的内在结构，而数之间的关系（加减乘除等）同样也代表事物之间的相互关系。所谓相加，表示性质相同的事物在保持一定的距离和各自的自性的条件下相互协调的一种统一关系（性质相反即是减法）。所谓相乘，表示性质相同的两种事物（或多种）距离过近，两者的相互影响加剧，致使每一事物都不能再保持自己的自性而形成的一种错综复杂的交叉反应关系（性
5、质相反即是除法）。今以图形表示如下：23（11）（111）（11111）5其中2与3之间保持了一定的距离，这一距离既不太远（若太远则二者不能构成统一的关系），又不太近，既能导致维持二者的统一，又不至于损害各自的自性。在5这一最终形成的统一体中，2与3既各自独立，又相互联系。 1 223（111）212222261 1 2若2与3距离过近，相互的影响力便超过了二者的自在力，其中大而松散的3便被分割为三个1，而每一个1又都受到2的同化，逐渐变成2，由于三个1之间是保持一定距离的相加关系，故三个3之间也是相加关系，而最终的结果则是6。在6之中已不存原来独立的2与3，而形成了2为基数（质料数），3为序
6、数（结构数）的特殊关系。理解了乘法的意义，对于除法和乘方、开方的意义自然也清楚了。除法指两种事物性质相反时形成的相互冲突而导致整体收缩（变小）的关系。如32，指3之中每个1都变成了12。乘方和开方则是连续的乘法和除法，如2的三次方，2之中每个1都变成2之后，新形成的2之中的每个1又再次受到同化而变成了2，结果为8。加法代表事物在保持各自自性的前提下构成新的统一体的关系，其特点是事物之间既相互作用，又有一定的距离。乘法代表事物之间距离太近，相互作用力破坏了各自的自性，通过交错的作用和相互影响而构成一个新的统一体的关系。这两种情况在现实世界中都存在。而乘方和开方则代表了事物互相重复影响，以至无穷的
7、一种极为复杂的相互关系，佛教中的华严无尽世界即是这一关系的体现。整理为word格式四、洛书、太极图中隐含的数学结构和黄金分割大戴礼记明堂篇载文王之庙“明堂”设有“九室”，其数制是“二九四，七五三，六一八”，此即洛书。后人更以“二、四为角，六、八为足，左三右七，戴九履一，五居中央”示之。由此洛书的结构是很确定的。洛书又称九宫图，为一三阶幻方，即每行数相加都是十五，但其实在的意义并不止此。将其中的偶数提取出来，即成如下图式：4 26 8直观此图，似乎并无特色。但按右旋结构，即可发现2+6=8，6+8=14，8+4=12，4+2=6，为方便起见，舍去10位数，只留个位数，即可发现其右旋结构为一加法序
8、列，2+6=8，6+8=4，8+4=2，4+2=6，这一序列是循环的，按其左旋结构，则224，428，8216，6212，亦舍去10位数，即可发现其左旋结构为一乘法序列，224，428，826，622，这一序列也是循环的。事实上，2，6，8，4这一序列是斐波那契数列2（1，3，4，7，11）的个位数的循环序列，2，4，8，6这一序列是等比数列2（1，2，4，8，16）的个位数的循环序列。再将此图简化，即是如下图式： 这一简单图式竟然包含着正旋为加法序列，反旋为乘法序列的奇妙结构，若不细思，实难发现。前又已述，加法表示事物之间距离较大的关系，乘法表示事物之间距离较小的关系，那么能否把二者协调起来
9、呢，能不能找到一个既有加法序列的特点，使事物保持各自的特性，又有乘法序列的特点，使事物保持足够程度的相互联系呢了？整理为word格式先设定1为为始数，斐波那契数列的特点是在a,b,c数列中a+b=c，而乘法数列的规律是b2=ac，设a=1，则1+b=c，b2=c，由此得到一个一元二次方程，即b2b10，则b1=，b2=这正是黄金分割的比率。因此，黄金分割分割数列 ，1，1+ 正好是同时符合加法序列与乘法序列两种序列特点的黄金分割序列。左旋序列即在传统文化中颇有地位的“太极生两仪，两仪生四象，四象变八卦”的1，2，4，8序列。右旋序列即为西方数学家斐波那契所发现的一种斐波那契数列，即1，3，4，
10、7。众所周知，斐波那契数列的特点是其相邻两数的比率无限地趋向黄金分割，表现出一种不断进化和选择的精神。而乘法序列则是按照一个固定的比率无限地裂变，体现了稳定的遗传牲。乘法序列还体现了一种平等原则，1分为2，2之中每个1都是完全一样的，是平等的。而加法序列则体现了一种自性（或自由）原则，合二为一，一之中两个数（c=a+b）是不均匀的，保持着各自的特点。但乘法序列中的平等是同一等级之间的相互平等，不同等级之间是不平等的，加法序列则没有明显的等级关系，前一等级中的大数又构成后一等级中的小数，级差不太显著。黄金分割序列则是自由原则与平等原则，均匀与非均匀的同一，是圆满而又完美的序列，它既代表了一分为二
11、的裂变而生的简单的单性生殖，又代表了合二为一的和合而生的复杂的双性繁殖，是潜藏的美妙结构。整理为word格式这一玄妙的结构是如何产生的呢，是出于偶然的数学游戏还是必然的宇宙结构，其实按照中国的传统思想，这一结构是非常自然的。设令由道生一，一即一点；由一生二，二即一条线；由二生三，这条线便有一个完全的中点；由三生四，则形成一个封闭的圆圈；由四到五，则构成一个圆满的圆形物。整理为word格式 因此五表示一个完整的事物，犹如一个树叶。到五数时便由无形无相的道化生为有形有相的事物，五即同物。五数最大而居中位，4为极数而居阳位，在上，1为最小的数而居阴位，在下，3为少阴居左，2为少阳居右，如此便形成这一
12、结构。因此这一结构并非简单的偶然得之的数学游戏，而是代表了宇宙万物化生的必然规律。五质量最大而成为核心，如同原子核，4能量最大（阳）故居上位，在外，1能量最小（阴）故居下位，在内，3和2在1与4之间，这一结构是非常合理的。这一结构事实上还是太极图的数字表达形式，根据同性相斥、异性相吸的原则，2为少阳而趋向阴1，将阴1包围起来，形成阳中有阴的阳鱼；3为少阴而趋向阳4，将阳4包围起来，形成阴中有阳的阴鱼。1和4为阴与阳，乾坤定位，相互作用，不易轻动，3和2为少阴与少阳，相互作用力弱，故易于活动。再加上1与3、4与2之间的斥力，就形成一个右旋的太极图。由此可知太极图是原初的图式，洛书事实上是由太极图
13、衍化而来的。对于黄金分割的用途无须赘述，然而对其深层意义还须说明，黄金分割体现了均匀与非均匀、自由与平等的同一，我们所在的宇宙既不是完全均匀的，又不是完全非均匀的，而在均匀与非均匀之际的最佳点便是黄金分割点，它既是均匀的，又是非均匀的。黄金分割还体现了中道原则，佛教的中道，儒家的中庸，道家的中都是指黄金分割点。所谓中，不是简单的平均的中点，因为如此就会导致绝对平均的偏见，又不是远离平均的状态，这样就会走向另一个极端。黄金分割为中道、中庸提供了一个量化标准。使之更易于准确地把握和理解。黄金分割还是阴与阳的比率。阴阳概念出现很早，较清楚地说明了事物内部两个方同的关系。阴与阳不同于西哲所言的矛盾的两
14、个方面或冲突的双方，其间也有量化的比值。阳的能量比阴大，故以阳为刚强，以队为柔弱，但二者的差距也并非无限大，或云阳数为九，阴数为六，其间的比率为3/2，正是黄金分割的近似值和整数值。阴阳关系体现了黄金分割，阴阳双方既是均匀的，平等的，又是各有特色、非均匀的，二者的相互消长是围绕黄金分割进行的。太极图、洛书作为宇宙万物的基本结构图式，体现了万物化生的基本规律，对世间事物来说，既存在着代表自性原则与自由精神的加法规律，也存在着代表平等原则与融合精神的乘法规律，同时还存在着代表中道原则的黄金分割律。乘法规律体现了阴的一面，代表内向、稳定、平等、融合，加法规律体现了阳的一面，代表外向、变动、自由、独存
15、。这两方面都是外在的，体现了事物的矛盾、冲突，构成事物的外相表层和现象，而黄金分割则是内在的，体现了事物的和谐、协同、构成事物的生命和内层本质。通过事物的不断选择和三种规律的共作用，使自然界的物质不断发展，从低级到高级，最终形成生命和作为宇宙自我意识的人类。整理为word格式五、河图、洛书的内在联系及意义太极图作为原初的图式代表未得到完全发育的单片物，即只有完整的二维结构，缺乏完全的第三维的事物，犹如一个树叶。洛书事实上是两个太极图的叠加，其中呈现出完全的加法、乘法和黄金分割序列。那么河图又代表了什么呢？它是如何产生的呢？单就河图本身来看，从中很难发现有何奥妙。但把河图、洛书比照研究，就可有所发现。河图、洛书都是太极图的展开，从五发展到十数。值得注意的是，河图中有两个黑五（阳一），一个白五（阴五），而洛书只有一个白五（阴五），没有黑五（阳五），其他数则完全一样。河图中多了一个
