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1、“点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型,在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若已知直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”,它的一般结论叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨,以飨读者。定理 在抛物线中,若直线与抛物线相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直
2、线的斜率为,则.证明:设M、N两点的坐标分别为、,则有,得又.注意:能用这个公式的条件:(1)直线与抛物线有两个不同的交点;(2)直线的斜率存在.同理可证,在抛物线中,若直线与抛物线相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.注意:能用这个公式的条件:(1)直线与抛物线有两个不同的交点;(2)直线的斜率存在,且不等于零.例1抛物线的过焦点的弦的中点的轨迹方程是( )A. B. C. D. 解:,焦点在轴上. 设弦的中点M的坐标为.由得:,整理得:.所求的轨迹方程为.故选B.例2抛物线上一组斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是( )A. () B. () C. () D. 解:
3、由得,焦点在轴上. 设平行弦的中点M的坐标为.由得:,.在中,当时,.点M的轨迹方程为().故答案选A.例3(03上海)直线被抛物线截得的线段的中点坐标是_.解:,焦点在轴上. 设弦MN的中点P的坐标为,弦MN所在的直线的斜率为,则由得:,从而.所求的中点坐标是.例4抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,它和直线相交,所得的弦的中点在 上,求抛物线的方程.解:设抛物线的方程为,直线与抛物线的两个交点为M、N,弦MN的中点P的坐标为.由得:,又点在圆上,解之得:或由得:直线与抛物线有两个不同的交点,0.m,或m0.故所求的抛物线方程为例5已知抛物线上永远有关于直线对称的相异两点,求实数的取值范围.解:
4、设抛物线上A、B两点关于直线对称,且弦AB的中点为.根据题意,点P在直线上,.又,.由,得:,.又由,得:.点在抛物线的开口内,.解之得:.故实数的取值范围.例6. (05全国文22)设两点在抛物线上,是AB的垂直平分线.()当且仅当取何值时,直线经过抛物线的焦点F?证明你的结论.()当时,求直线的方程.解:(),.设线段AB的中点为,直线的斜率为,则.若直线的斜率不存在,当且仅当时,AB的垂直平分线为轴,经过抛物线的焦点F.若直线的斜率存在,则其方程为,.由得:,.若直线经过焦点F,则得:,与相矛盾.当直线的斜率存在时,它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述,当且仅当时,直线经过抛物线的焦点F
5、.()当时,由得:.所求的直线的方程为,即例7已知直线与抛物线交于A、B两点,那么线段AB的中点坐标是_.解:,. 直线的斜率为1.由得:.代入求得.线段AB的中点坐标是.例8直线与抛物线交于不同的两点P、Q,若PQ中点的横坐标是2,则=_.解:,.在中,时,若PQ中点的纵坐标是.由得:,即.解之得:或.由得:.直线与抛物线交于不同的两点,解之得:且.由得:. 即.设,则.例9已知抛物线C的顶点在原点,焦点在轴的正半轴上,直线被抛物线C所截得的弦AB的中点M的纵坐标为,则抛物线C的方程为_.解:,.由得:.AB所在的直线方程为,即.例10设为抛物线的弦,如果这条弦的垂直平分线的方程为,求弦所在
6、的直线方程.解:设抛物线的方程为(m0). 在中,斜率为,时,. 弦AB的中点M的坐标为.由得:,.所求的抛物线的方程为.例11过点作抛物线的弦AB,若弦AB恰被Q平分,则AB所在的直线方程为_.解:,. 弦所在直线的斜率为1. 设弦的中点坐标为.由得:.弦的中点也在直线上,.弦的中点坐标为.弦所在的直线方程为,即.例12已知抛物线上有不同的两点A、B关于直线对称,求实数的取值范围.解:设弦AB的中点为.根据题意,.又,.由,得:,.又由,得:.点在抛物线的开口内,.解之得:.故实数的取值范围.例13(05全国理21)设两点在抛物线上,是AB的垂直平分线.()当且仅当取何值时,直线经过抛物线的
7、焦点F?证明你的结论.()当直线的斜率为2时,求在y轴上的截距的取值范围.解:(),.设线段AB的中点为,直线的斜率为,则.若直线的斜率不存在,当且仅当时,AB的垂直平分线为轴,经过抛物线的焦点F.若直线的斜率存在,则其方程为,.由得:,.若直线经过焦点F,则得:,与相矛盾.当直线的斜率存在时,它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述,当且仅当时,直线经过抛物线的焦点F.()当时,由()知,直线的方程为,它在y轴上的截距,.直线AB的方程为,即.代入并整理得:.直线AB与抛物线有两个不同交点,0,即0.故在y轴上的截距的取值范围是.例14(08陕西文理20) 已知抛物线,直线交C于A、B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交C于点N.()证明:抛物线C在点N处的切线与AB平行;()是否存在实数使,若存在,求的值;若不存在,请说明理由.证明:(),设点M的坐标为.当时,点M在y轴上,点N与原点O重合,抛物线C在点N处的切线为x轴,与AB平行.当时,由得:. 得点N的坐标为.设抛物线C在点N处的切线方程为,即.代入,得:,整理得:., ,即抛物线C在点N处的切线的斜率等于直线AB的斜率.故抛物线C在点N处的切线与AB平行.()解:若,则,即.,.由得.设,则. 即.化简,得:,即.故存在实数,使.