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1、平面向量练习题集答案典例精析题型一向量的有关概念例1下列命题：向量AB的长度与BA的长度相等；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；向量AB与向量CD是共线向量，则 A、B、C、D必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故错；显然错；AB与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故错.故是真命题的只有【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：|a|= Ja ? a ；(a?b)
2、? c=a? (b?c); OA - OB = bA ；在任意四边形 ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则 AB + DC =2MN ;a=(cos a, sin a), b= (cos 3, sin 3,且 a与 b不共线，则(a+ b)(a b).其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】 选D.| a |= Ja?a正确;(a?b) ?c汨？(b ?c)； OA OB = bA正确；如下图所示，MN =MD + DC.+ CN 且 MN = MA + AB + BN两式相加可得2MN = AB+ DC ,即命题正确;因为a, b不共线，且|a|=|b|=1,所以a+b
3、, ab为菱形的两条对角线,即得(a+b)(a- b).所以命题正确题型二 与向量线性运算有关的问题【例2】如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O,点M在线段DO上，且DM =DO ,点N在线段OC上，且ON =OC ,设AB =a, AD=b,试用 33a、b 表示 AM , AN , MN.【解析】在？ABCD中，AC, BD交于点O,所以 DO =1DB =1( AB - AD )=1(a- b), 111AO = OC =万 AC = 2( AB + AD ) = /(a+ b).又 DM” =1DO , ON=1OC , 331 _ _ 所以 AM = AD + DM =b
4、+ -DO 31 115= b + (ab) = 6a + 6b,1 AN = AO + ON = OC +1OC3= 4OC =41(a+b) = 2(a+b). 33 23所以 MN = AN AM21511=3(a+ b) (6a + 6b) = 2a- 6b.【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形【变式训练2】O是平面a上一点，A、B、C是平面a上不共线的三点，平面a内的动点P满足Op =OA + X AB + AC ),若 上；时，则 PA ? ( PB + PC
5、 )的值为.【解析】由已知得OP - Oa= XAB+ AC), 11即 AP= XAB + AC),当 上2时，得 AP=2(AB+ AC)，所以 2AP = AB + AC ,即 AP AB = AC AP ,所以BP= PC ,所以 PB + PC = PB + BP =0,所以 PA? ( PB + PC ) = PA?0=0,故填 0.题型三向量共线问题【例3】 设两个非零向量a与b不共线.若 AB = a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b),求证：A, B, D三点共线；(2)试确定实数k,使ka+ b和a + kb共线.【解析】(1)证明：因为 AB =a+b, B
6、C =2a+8b, cD =3(a-b),所以 bD = BC + CD = 2a+ 8b+3(a- b)= 5(a+ b)= 5 aB ,所以AB , BD共线.又因为它们有公共点 B,所以A, B, D三点共线.(2)因为ka+b和ad kb共线，所以存在实数 力使ka+b= Na+kb),所以(k 4a =(入 b1)b.因为a与b是不共线的两个非零向量，所以k入=入b1 = 0,所以k21 = 0,所以k= 1.【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的 其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解
7、决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线【变式训练3】已知。是正三角形BAC内部一点，OA+2OB+3OC=0,则4OAC的面积与 OAB的面积之比是()B.3A32C.2iD.3【解析】 如图，在三角形 abc中， OA + 2OB + 3OC = o,整理可得 OA+OC + 2(OB + OC)=o.1, 一令三角形ABC中AC边的中点为 E, BC边的中点为F,则点O在点F与点E连线的处，即OE = 2OF.一,1,一 , i1h h 1设三角形ABC 中 AB边上的图为h,则 Sac=Szoae+Szoec = 3?OE?(2 + 2)
8、= 2OE h,Szoab= 2AB?2h=1AB - h,由于 AB = 2EF, OE =,所以 AB=3OE,S/OAC 所以 S/OAB12OE?h 22=鼻.故选B.13-AB?h4总结提高1 .向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合）的情形，而向量平行则包括共线（即重合）的情形.2 .判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个 向量表示出来.3 .当向量a与b共线同向时,|a+b|=|a|+ |b|;当向量a与b共线反向时，|a+ b|= |a| |b|;当向量a与b不共线时，|a+b|23=5.【点拨】设
9、m=(xi, yi), n=(x2, y2),则m n? xiy2= x2yi ； m，n? xix2 + yiy2= 0.【变式训练3】已知a, b, c分别为 ABC的三个内角A, B, C的对边，向量m = (2cosC-i, 2), n =(cos C, cos C+ 1).若 m,n,且 a+b=10,则 ABC 周长的最小值为()A.10-5/3B.10+5 5C.102 mD.10 + 231 .【解析】由 mn 得 2cos2C3cos C2=0,解得 cos C=万或 cos C= 2(舍去)，所以 c2= a2+b22abcosC= a2+ b2+ ab= (a+ b)2 ab= 100 ab,由 10=a+b2VOb? ab75,即 O 5a/3,所以 a + b+ O 10+53,当且仅当a=b = 5时，等号成立.故选B.典例精析题型一利用平面向量数量积解决模、夹角问题【例1】 已知a, b夹角为120,且|a|= 4, |b|=2,求:(1)|a+b|;(2)(a+ 2b) (a+b);(3)a与(a+b)的夹角0.【解析】(1)(a+ b)2= a2 + b2 + 2a - b= 16 + 424X22= 12,所以 |a+b|=2 .3.(
