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1、高等数学教案曲线积分与曲面积分第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。2.掌握计算两类曲线积分的方法。3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。【教学重点】1.两类曲线积分的计算方法；2.格林公式及其应用；3. 第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1.两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其
2、应用格林公式计算对坐标的曲线积分；【参考书】1 同济大学数学系 . 高等数学（下），第五版 . 高等教育出版社 .2 同济大学数学系 . 高等数学学习辅导与习题选解，第六版. 高等教育出版社 .3 同济大学数学系 . 高等数学习题全解指南（下），第六版. 高等教育出版社11.1对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量设一曲线形构件所占的位置在 xOy 面内的一段曲线弧 L 上 已知曲线形构件在点 (x y) 处的线密度为 (x y) 求曲线形构件的质量把曲线分成n 小段 s1 s2sn( si 也表示弧长 )任取 ( i i)si 得第 i 小段质量的近似值 ( i i
3、) si高等数学课程建设组高等数学教案曲线积分与曲面积分n整个物质曲线的质量近似为Mi 1( i,i ) si令maxs1 s2sn0则整个物质曲线的质量为nMlim(i , i )si0 i 1这种和的极限在研究其它问题时也会遇到定义设函数 f(x y)定义在可求长度的曲线L 上 并且有界 ，将 L 任意分成 n 个弧段s1s2sn并用si表示第i段的弧长在每一弧段si 上任取一点 ( ii ) 作和nf (i , i ) si令max s1s2sn如果当0 时这和的极限总存在则称此i 1极限为函数 f(x y)在曲线弧 L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作f (x, y)ds即LnL
4、f (x, y)dslimf (i , i ) si0 i 1其中 f(x y)叫做被积函数L 叫做积分弧段曲线积分的存在性当 f(xy) 在光滑曲线弧L 上连续时对弧长的曲线积分f (x, y)ds 是存在的以后我们总假定f(xy) 在 L 上是连续的L根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分(x, y)ds 的值其L中 (x y)为线密度n对弧长的曲线积分的推广f (x, y,z)ds limf ( i , i ,i ) si0i1如果 L(或 )是分段光滑的则规定函数在L( 或 )上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和例如设 L 可分成两段光滑曲线弧L1及 L2则
5、规定f (x, y)dsf ( x, y)dsf ( x, y)dsL1 L2L1L 2闭曲线积分如果 L 是闭曲线 那么函数 f(x y) 在闭曲线 L 上对弧长的曲线积分记作f (x, y)dsL高等数学课程建设组高等数学教案曲线积分与曲面积分对弧长的曲线积分的性质性质 1 设 c1、 c2 为常数则Lc1 f (x, y) c2g(x, y)dsc1 L f (x, y)ds c2 L g(x, y)ds性质 2若积分弧段 L 可分成两段光滑曲线弧L1和 L2 则f (x, y)dsf (x, y)dsf (x, y)dsLL1L2性质 3 设在 L 上 f(x y) g( x y)则L
6、f (x, y)dsg(x, y)dsL特别地 有|f ( x, y)ds| f (x, y)| dsLL二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义如果曲线形构件L 的线密度为 f(x y)则曲线形构件 L的质量为f (x, y)dsL另一方面若曲线 L 的参数方程为x(t)y(t) (t)则质量元素为f ( x, y)dsf (t),(t)2 (t )2(t) dt曲线的质量为f (t),(t)2(t)2 (t )dt即f (x, y)dsf (t),(t )2 (t )2 (t)dtL定理 设 f(x y)在曲线弧 L 上有定义且连续L 的参数方程为x (t) y(t) ( t
7、 )其中(t) 、 (t) 在 上具有一阶连续导数且2(t)2(t) 0则曲线积分f ( x, y)ds 存L在且Lf (x, y)dsf (t),(t )2 (t )2 (t )dt ( )应注意的问题定积分的下限一定要小于上限高等数学课程建设组高等数学教案曲线积分与曲面积分讨论(1)若曲线 L 的方程为 y(x)(ax b)则f (x, y)ds?L提示L 的参数方程为 xx y(x)(axb)b( x)12(x) dxf ( x, y)dsf x,La(2) 若曲线 L 的方程为 x(y)(cyd)则f (x, y)ds?L提示L 的参数方程为 x( y) yy(cyd)d( y), y
8、2 ( y)1dyf ( x, y)dsf Lc(3) 若曲 的方程为 x(t)y(t)z(t)(t)则f (x, y, z)ds ?提示f ( x, y, z)dsf (t),(t),(t)2(t)2(t )2(t)dt例 1计算yds其中 L 是抛物线 yx2 上点 O(0 0)与点 B(11)之间的一段弧L解 曲线的方程为 y2x 1)因此x (0yds121(x2 ) 2 dx11 4x2 dx1 (55 1)xxL0012例 2计算半径为 R、中心角为 2的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为1)解 取坐标系如图所示则 Iy2 ds曲线 L 的参数方程为Lx RcosyRsin()于是Iy2 dsR2 sin2(Rsin)2(Rcos )2 dLR3sin2 dR3(sincos)例 3计算曲线积分(x2y2z2 )ds其中 为螺旋线 xacost、y asint、 z kt 上相应于 t 从 0 到达 2的一段弧解 在曲线上有 x2 y2 z2(a
