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1、典型例题一例1若a/b , b c A ,则a , c的位置关系是（）.A ?异面直线B ?相交直线C平行直线D ?相交直线或异面直线分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论.解：如图所示，在正方体 ABCD AiBiCiD-八中，设AB! a , AB b,则a/b .若设B,B c,则a与c相交？若设BC c,则a与c异面.故选D .般以正方体、四面体说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解c相交，则a , c的位置关系是相交、平行或异面.类c的位置关系是平行、 判断.等为具体模型.例如，a , b相交，b , 似地；a , b异面，b
2、 , c异面，则 交或异面？这些都可以用正方体模型来典型例题二例2已知直线a和点A , A，求证：过点 A有且只有一条直线和 a平行.分析：“有且只有” 的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性和惟一性.存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有.一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的对象.因此，这是否定性 命题，常用反证法.证明：（1）存在性.? A a二a和A可确定一个平面，由平面几何知识知，在内存在着过点A和a平行的直线.（2）惟一性假设在空间过点 A有两条直线b和c满足b/a和c/a ?根据公
3、理4,必有b/c与b c A矛 盾，?沮点A有一条且只有一条直线和 a平行.说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性典型例题三例3如图所示，设E , F , G , H分别是空间四边形CF CGDA上的点,AB,求证:EHCB CD时，四边形EFGH时，四边形EFGH是平行四边形；是梯形.分析:证明:只需利用空间等角定理证明连结BD ,EH /FG 即可.ABD 中,AE AHABADEH BD ,且(1)(2)说明CBD 中，CF CBEH /FG ,顶点E ,时,时,:显然,课本第特别地，当四边形是平行四边形.CGEHEHFG/BD ,且FG BD .H在由FG
4、,FG,EH和FG确定的平面内.故四边形故四边形页的例题就是本题时，E,2如果再加上条件 AC BD ,这时,平行四边形EFGH为平行四边形；EFGH是梯形.(2 )的特殊情况.H是空间四边形各边中点，以它们为顶点的EFGH是菱形.典型例题四例4已知a、b是两条异面直线，直线 a上的两点A、B的距离为6,直线b上的两点 C、D的距离为8, AC、BD的中点分别为 M、N且MN 5 ,求异面直线a、b所成的 角.分析：解题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造 异面直线a、b平行的两条相交直线，然后把它们归纳 角形中求解.解：如图，连结BC，弁取BC的中点0，连结0M、ON ,?/ 0M、ON分
5、别是 ABC和BCD的中位线，二 OM/OAbon沁CD，即二OM、ON所成的锐角或直角是异面直线 a、又?？ AB 6, CD 8, ? OM3, ON 4 .在 OMN 中，又？?？ MN 5 ,ON2MNMON 90故异面直线a、b所成的角是90说明：在求两条异面直线所成的角时，一般要依据已知条件，找出与两条异面直线分别平行弁且相交于一点的两条直线？但是，异面直线所成角的定义中的点0一般是在图形中存在着的，需要认真观察分析图形的性质，从而找出这一点和过这一点与两异面直线平行的直线，以得到两条异面直线所成的角，在求这个角的大小时，一般是根据平面图形中解三角形的知识求解的.典型例题五例5已知
6、四面体SABC的所有棱长均为a ?求：(1)异面直线SC、AB的公垂线段EF及EF的长；(2)异面直线EF和SA所成的角.AB的公垂线段，进而求出其距S分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线SC离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解.、解：(1)如图，分别取SC、AB的中点E、F , SF、CF .由已知，得SAB也CAB .? SF CF, E是SC的中点，? EF SC同理可证EF AB? EF是SC、AB的公垂线段.在 Rt SEF 中，SF a , SE -a .2 2a2?- EF、 SF2SE21a2(2)取AC的中点G,连结EG , 则EG/SA.? EF和GE所成的锐
7、角或直角就是异面直线EF和SA所成的1连结FG,在EFG中，EGa,2由余弦定理,角.GF cos GEFEG2 EF2 GF22 EG EFGEF 45故异面直线EF和SA所成的角为45 .说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决,同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值.典型例题六例6如图所示，两个三角形 ABC和A B C的对应顶点的连线 AA、BB、CC交于同一点0,且AO BO CO I -(1)证明：AB/AB , AC/AC , BC/BC ；分析：证两线平等当然可用平面几何的方法 .而求面积之比则需证两个三角形相似，由于三角形是平面图形，故也可用平面几何的方法证明.甲乙
8、证明：当ABC和ABC 在0点两侧时,如图甲? AA BB相交于0点，且 A0 B0A0BO二 AB/AB(因为 AA、BB共面)同理 AC / A C , BC / B C？/ AB / A B，且 AC / A CAB和 AB , AC和AC的方向相反，？BAC B AC ,同理 ABCABC因此，ABC sA B C又 AB AOA B A OS ABC3 Sabc当ABC和ABC,在O点的同侧时，如图乙所示，同理可得(1)(2).说明：此题ABC与ABC是否共面弁不重要，因为等角定理对各种位置已作说明典型例题七例7 S是矩形ABCD所在平面外一点，SA BC , SB CD , SA与
9、CD成60角，SD与 BC 成 30 角，SA a,求：(1)直线SA与CD的距离；(2)求直线SB与AD的距离.分析：要求出SA与CD、SB与AD的距离，必须找到它们的公垂线段，公垂线段的长度即为异面直线间的距离.解：如图所示，在矩形 ABCD中，BC/AD .?/ SA BC ,? SA AD ?又CD ADAD是异面直线SA、CD的公垂线段,其长度为异面直线 SA、CD的距离.在Rt SAD中，？?？ SDA是SD与BC所成的角，SDA 30 .又 SA a , ? AD , 3a .(2)在矩形 ABCD 中，AB/CD , SB AD ,? SB AB ,又 AB AD ,? AB是
10、直线SB、AD的公垂线段，其长度为异面直线 SB、AD的距离.在Rt SAB中， SAB是异面直线SA与CD所成的角，？ SAB 60 .a又 SA a , ? AB a cos 602?直线SB与AD的距离为a .2说明：(1)求异面直线之间距离的步骤是：找 (作)线段；证线段是公垂线段； 求公垂线段 的长度.(2)求异面直线间的距离的问题，高考中一般会给出公垂线段.典型例题八例8 a、b、c是三条直线，若a与b异面，b与c异面，判断a与c的位置关系，并画图说明.分析：这是一道考查异面直线概念及空间直线位置关系的问题,的表 同时也考查了图形语言达能力.解：直线a与c的位置关系有以下三种情形如
11、图：?直线a与c的位置关系可能平行（图中的（1）；可能相交（如图中的 （2）；可能异面（图中的（3）.说明：本题也考查了空间想象能力和逻辑划分、分类讨论的能力典型例题九例9如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的十二条棱中，共有几对异面直线（）.A . 12 对 B. 24 对C. 36 对 D . 48 对分析：一般地，立体几何中的计数问题，是由所数的量的性质，确定一规律，然后按此规律进行计数.正方体的各棱具有相同的位置关系.所以以一条棱为基量，考察与其异面的几对，问题可解.解：如图，正方体中与AB异面有CQ , RD , BiG , Ai D1I I 4BI?各棱具有相同的位置关系，且
12、正方体有12条棱，排除两棱的重复计算成本，12 4?异面直线共有12上24对.2说明：分析清楚几何体特点是避免重复计数的关键.计数问题必须避免盲目乱数，做到“不重不漏”.典型例题十例10如图，已知不共面的直线a , b , c相交于0点，M、P是直线a上两点，N、Q分别是b , c上一点.求 MN和PQ是异面直线.证法1假设MN和PQ不是异面直线则MN与PQ在同一平面内，设为? M P a, M、 P又 0 a, ? 0? N 且 0 b , N b,? b .同 C平a , b, c共面于 ，与已知a , b , c不共面相矛盾? MN PQ是异面直线.证法2 ： ?/ a c O , ?直
13、线a , c确定一平面设为? Pa , Q c ,? P ,Q? PQ 且 M , M PQ .又a , b, c不共面，Nb, ? N? MN与PQ为异面直线.说明：证明两条直线异面的方法有两种 .(1)用定义证明(即定义法)：此时需借反证法，假设两条直线不异面，根据空间两条直 线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交也可能平行，裂盾即可.(2)用定理证明(即定理法)：用该法证明时，必须阐述出定理满足的条件： A , B a,然后可以推导出直线 a与AB是异面直线.典型例题十一例11AC,在已知平面与平面相交于直线1 , a, B为直线1上的两.在占八、内作直线BD ?求证 A
14、C和BD是异面直线.，推导出矛a ,内作直线知:平面平面=1 , A 1 , B 1 , AC,BD如图.AC、BD是异面直线.证明：假设AC , BD不是异面直线，则它们必共面.? A B、C、D在同一平面内.即A、B、C所确定的平面 与A、B、D确定的平面 重合这与平面平面=1矛盾? AC、BD是异面直线.说明：证明两条直线为异面直线，用反证法往往比较简单.典型例题十二例12已知空间四边形 ABCD ,求证它的对角线 AC和BD是异面直线.证法一：（反证法） 如图假设AC和BD不是异面直线，则 AC和BD在同一平面内.? A、B、C、D在同一平面内，即四边形 ABCD是平面四边形， 这与已知条件矛盾，所以假 设不成立.因此AC和BD是异面直线.证法二：（定理法）过BC和CD作一平面，则对角线BD在平面 内.对角线AC与平面 交于BD外的一点C,即点C不在直线BD上，且A点在平面 夕卜.?根据异面直线判定定理知：AC和BD是异面直线.说明：判定两条直线是异面直线的证明问题常用这两种方法，即（1）
