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1、立体几何(向量法)建系引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需 建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤 之一所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。一、利用共顶点的互相垂直的三条线构建直角坐标系例1(2012高考真题重庆理19)(本小题满分12分 如图，在直三棱柱ABC- ABC111中， AB=4， AC=BC=3， D 为 AB 的中点(I) 求点C到平面A ABB的距离；11(II) 若AB丄AC求二面角的平面角的余弦值.11【答案】解：由AC=BC, D为AB的中点，得CD丄AB.又
2、CD丄AA1，故CD丄面A1ABB1，所以点C到平面AABB的距离为CD =bC2BD2=x/5.AD&(2)解法一：如图，取D1为A1B1的中点，连结DD1，则DD1#AA1#CC1.又 由(1)知CD丄面AABB,故CD丄A1D，CD丄DD1，所以ZA1DD1为所求的二面 角 A1 CD C1 的平面角因A1D为A1C在面AABB上的射影，又已知AB丄A1C，由三垂线定理的 逆定理得AB1丄A,从而ZAAB1.ZA1DA都与ZBAB互余，因此ZAAB1 =AA A BZA1DA，所以 RtAAJDsRtABd”.因此詬=古，即 AAf=ADA1B1 = 8，得 的=2/2.从而 AD=,!
3、AAi+AD2=2；3. 所以，在RtAADD中，,DD、 AA 岳cos ZA1DD1=AD=AD =解法二：如图，过D作DDAA交A1B1于点D,在直三棱柱中，易知DB, DC, DD两两垂直.以D为原点，射线DB, DC, DD分别为x轴、y轴、z轴 的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz.设直三棱柱的高为 h,则 A( 2,0,0), A(2,0, h), B(2,0, h), C(0,逅, 0), C(0, 5, h),从而AB =(4,(0, h), AC=(2,占，h).由AB丄*，有 8h2=0, h=2d故Dl = ( 2,0,2盪)，CC1 = (0,0,；2), dC= (
4、0,伍 0).设平面ACD的法向量为m = (X, y, z),则m丄DC, m丄DA,即样=0, _2X + 2： 2Z = 0,取 z1 = 1,得 m = Gy2, 0,1),设平面CCD的法向量为n = (x2, y2, z2)，则n丄DC, n丄CC,即= 0,2=0取 x2=1,得 n = (1,0,0),所以cosm, nm、nImllnl=y6“J2+1.13所以二面角A CD C的平面角的余弦值为二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例2.如图所示，AF、DE分别是圆O、圆O的直径，AD与两圆所在的平面均垂直,AD = 8 . BC 是圆 O 的直径，AB = AC = 6, O
5、E/ AD .（I）求二面角B AD F的大小；（II）求直线BD与EF所成的角的余弦值.19.解：（I）TAD与两圆所在的平面均垂直，.AD丄AB, AD丄AF,故ZBAD是二面角BADF的平面角, 依题意可知，ABCD是正方形，所以ZBAD=45o.即二面角BADF的大小为450； 仃I）以0为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则0（0, 0，0），A （0， 3“，0），B （32，0，0） ,D （0， 3J2，8），E （0，0，8），F（0, 32，0）所以，BD = （-3*2-328）, FE = （0,-32,8）bD fE0 +18 +
6、 6482cos =.=| BD II FE I J100 xJ8210设异面直线BD与EF所成角为a，则cos a =I cos I=82Tq-直线BD与EF所成的角为余弦值为三、利用图形中的对称关系建立坐标系例3 （2013年重庆数学（理）如图，四棱锥P ABCD 中, PA丄底面ABCD , 兀BC = CD = 2, AC = 4,ZACB = ZACD = 丁 , F 为 PC 的中点，AF 丄 PB. 求PA的长；（2）求二面角B AF D的正弦值.B题19)图答案】解:如图，联结BD父AC于O因为BC=CD,即ABCD为等腰三角形，又AC平分ZBCD, 故AC丄BD.以 O为坐标
7、原点，OB, OC, AP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立一nn空间直角坐标系 Oxyz,则 OC=CDcos= 1，而AC=4,得AO=ACOC=3.又 OD=CDsin故A(0,3, 0), B(V3, 0, 0), C(0, 1, 0), D(逅,0, 0).因PA丄底面ABCD,可设P(0, 3, z),由F为PC边中点，得F(0,1, 2)，又AF= (0,2,2j,PB=(曲,3,z)，因 AF丄PB,故PB=0,即 62=0，z=2逅(舍去一2V3)，所以iPai=2(2)由(1)知AD=(/3, 3, 0), AB=(x/3, 3, 0), AF=(0, 2,百).设
8、平面 FAD 的法 向量为 =(X, y1，z1),平面FAB的法向量为2=(x2, y2, z2).由十AD = 0,十AF=0, 得2丁+卍3z1 = 0,因此可取 = (3,2).由 2AB=0, 2AF=0,得3x2+3y2=0,Ly2+:3z2=0,故可取 2=(3,V3, 2).从而向量 1cos1, 22 的夹角的余弦值为nn211 2lnln8.12故二面角BAFD的正弦值为鼻占.四、利用正棱锥的中心与高所在直线，投影构建直角坐标系例4-1 (2013大纲版数学(理)如图，四棱锥P ABCD中，ZABC = ABAD = 90 , BC = 2AD, APAB 与 APAD 都
9、是等边三角形.0(I)证明：PB丄CD;(II)求二面角A PD C的余弦值.【答案】解：(1)取 BC的中点E,联结DE,则四边形ABED为正方形. 过P作PO丄平面ABCD,垂足为O.联结 OA, OB, OD, OE.由ARAB和AE4D都是等边三角形知PA=PB=PD, 所以OA = OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点， 故OE丄BD,从而PB丄OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OECD.因此PB丄CD.(2)解法一：由(1)知 CD丄PB, CD丄PO, PBHPO=P, 故CD丄平面PBD.又PD平面PBD,所以CD丄PD.取 PD 的中点 F, PC 的中
10、点 G ,连 FG .贝9 FGCD, FG丄PD.联结AF,由AAPD为等边三角形可得AF丄PD.所以ZAFG为二面角A-PD-C的平面角.联结 AG, EGEGPB.又PB丄AE,所以EG丄AE.设 AB=2,则 AE=2 2, EG=*PB=1,故 AG=；AE2+EG2=3,在AAFG 中，FG=2cD=2 AF=3, AG=3.解法二：由(1)知，OE, OB, OP两两垂直.以O为坐标原点，OE的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设AB = 2，贝yA(- 2, 0, 0), D(0,-辽,0),C(2、/2,_忑,0), P(0, 0,.2),PC=(;2,
11、2,；2), PD=(0,2,2),Ap=Ci.2, 0,迈)，AD = (J2,i2, 0).设平面PCD的法向量为=(x, y, z),贝9 十PC=(x, y, z)(2 门，一V2/2) = 0fPD=(x, y, z)(0, 2, i2) = 0,可得 2xyz=0, y+z=0.取 y= 1,得 x= 0, z= 1,故 1= (0, 1, 1). 设平面PAD的法向量为2=(m, p, q),贝92AP=(m, p, q)G2 0, ”72) = 0,2AD=(m, p, q).(p2,/2, 0)=0,可得 mq= 0, m p= 0.取 m=1,得p=1, q= 1,故 2=
12、(1, 1,1). 于曰 =产2 一五于疋 cos，2=ln1lln=3 .1 2 _ 例 4-2 如图 1 5,在三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 AB=AC=AA=y：5, BC=4,点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1) 证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE丄平面BBCC,并求出AE的长;(2) 求平面 A1B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值.【答案】解：证明：连接AO,在AAOA中，作OE丄AA于点E,因为AABB,所以 OE丄BB因为A1O丄平面ABC，所以A0丄BC. 因为 AB=AC, OB = OC,所以 AOBC, 所以BC丄平面AA1O.所以BC丄
13、OE,所以 OE丄平面 BBCC，又 AO = AB2BO2=1, AA=.j5（2）如图，分别以 OA，得AE=OB，OA1 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0，2,0)，A1(0,0,2)，由AE=1AA得点E的坐标是 0,事,由得平面BBCC的法向量是OE=4, 0,耳，设平面ABC的法向量二（x， y， z）， AB = 0,由AA1C=0x+2y=0,.y+z=O,令 y=l,得 x2, z= 1,即=(2,1, 1),所以cosOAE,OEnlOElJnl-.；3010 -即平面BB1C1C与平面A1B1C的夹角的余弦值是
14、谓三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例 5 （ 2012 高考真题安徽理 18 ）（本小题满分 12 分）平面图形ABBACC如图14（1）所示，其中BB1C1C是矩形，BC=2, BB1A,=4, AB=AC=Q, A1B1=A1C15.0图 1 4现将该平面图形分别沿BC和BQ折叠，使ABC与A1B1C1所在平面都 与平面BBCC垂直，再分别连接A*, AB，AC，得到如图1-4(2)所示的空间 图形对此空间图形解答下列问题(1)证明：AA丄BC；求AA1的长；(3)求二面角A-BC-A1的余弦值.答案】解：(向量法)：(1)证明：取 BC，B1C1的中点分别为D和D,连接A1D1，DD1，AD.由BB1C1C为矩形知，DD丄 B1C1，因为平面BB1C1C丄平面A1B1C1，所以DD丄平面A1B1C1，又由 A1 B1 = A1 C1 知，A1D1 丄 B1C1.故以D1为坐标原
