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1、破解椭圆中最值问题的常用方略有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中屡屡浮现，在多种题型中均有考察,其中以解答题为重，在平时的高考复习需有所注重。圆锥曲线最值问题具有综合性强、波及知识面广并且常具有变量的一类难题,也是教学中的一种难点。要解决此类问题往往运用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想措施,将它转化为解不等式或求函数值域，以及运用函数单调性、多种平面几何中最值的思想来解决。本文通过具体例子，对椭圆中的常用最值问题进行分类破解。第一类：求离心率的最值问题破解方略之一：建立的不等式或方程例1:若为椭圆的长轴两端点,为椭圆上一点，使，求此椭圆离心率的最小值。分析:建立之间的
2、关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想,但条件又不是与焦点有关,很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中的取值进行求解离心率的最值。解：不妨设，则，运用到角公式及得:(），又点在椭圆上,故，消去, 化简得又即则,从而转化为有关的高次不等式 解得。故椭圆离心率的最小值为。(或，得：，由,故)（注：本题若是选择或填空可运用数形结合求最值）点评：对于此类最值问题核心是如何建立之间的关系。常用椭圆上的点表达到，并运用椭圆中的取值来求解范畴问题或用数形结合进行求解。破解方略之二:运用三角函数的有界性求范畴例2：已知椭圆C：两个焦点为,如果曲线C上存在一点Q,
3、使,求椭圆离心率的最小值。分析:根据条件可采用多种措施求解,如例1中所提的措施均可。本题如借用三角函数的有界性求解,也会有不错的效果。解:根据三角形的正弦定理及合分比定理可得:故，故椭圆离心率的最小值为。点评:对于此法求最值问题核心是掌握边角的关系，并运用三角函数的有界性解题，真是柳暗花明又一村。第二类：求点点（点线)的最值问题破解方略之三：建立有关函数并求函数的最值（下面第三类、第四类最值也常用此法)例3：(上海)点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点是椭圆的右焦点,点在椭圆上，且位于轴上方,。(）求点P的坐标;（2)设是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离
4、的最小值。分析：解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系,因此本题两点距离可转化成二次函数的最值问题进行求解。解：（1)略 (2)直线的方程是+。 设点M（，0),则M到直线P的距离是。 于是=,又-6,解得2。设椭圆上的点(,)到点的距离 ,由于66, 当=时,d获得最小值点评:对于此类最值问题核心是如何将点点之间的最值问题转化成我们常用函数二次函数的最值问题求解。破解方略之四:运用椭圆定义合理转化例4:定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。解：设为椭圆的右焦点，如图作于A，B于B，M于,则当且仅当AB过焦点F时等号成立。故到椭圆右准线的最短
5、距离为。点评:是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值,是AB过焦点的充要条件。通过定义转化避免多种啰嗦的运算过程。第三类:求角的最值问题例5：（浙江)如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1,在x轴上，长轴A2的长为4，左准线l与轴的交点为M，|M1|A11|21。 ()求椭圆的方程； OF2F1A2A1PM（)若直线l1:=(|m|1）,P为l1上的动点,使F1F2最大的点P记为Q,求点Q的坐标 (并用m表达) 。分析:本题考察解析几何中角的最值问题常采用到角 (夹角）公式或三角形中的正弦(余弦）定理,结合 本题的实际,考虑用夹角公式较为妥当。解：（I)（过程略)（)设P(当时，当时， 只需
6、求的最大值即可。直线的斜率,直线的斜率运用夹角公式得：当且仅当=时,最大，最大值为。点评:对于此类最值问题核心是如何将角的最值问题转化成解析几何中的有关知识最值问题,一般可用到角(夹角)公式、余弦定理、向量夹角进行转化为求分式函数的值域问题。第四类:求(三角形、四边形等）面积的最值问题例6：(全国II）、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点.已知与共线,与共线，且求四边形的面积的最小值和最大值.分析：本题是向量与解析几何的结合,重要是如何选择一种合适的面积计算公式达到简化运算过程,并结合分类讨论与求最值的思想。解:如图,由条件知MN和P是椭圆的两条弦,相交于焦点F（0，1）,且PQ，直线P
7、Q、NM中至少有一条存在斜率,不妨设PQ的斜率为,又PQ过点(0,1)，故的方程为=1将此式代入椭圆方程得(+)+1=0设、Q两点的坐标分别为（,),(，)，则 QPNMFO从而亦即(）当0时,MN的斜率为-,同上可得: 故所求四边形的面积令=得=2 当1时2,S=且是觉得自变量的增函数。当=0时，N为椭圆长轴，|MN|，PQ|=。S=Q|MN|=2综合知四边形PMQ的最大值为，最小值为。点评:对于此类最值问题核心是选择一种合适或合理的面积公式转化成常用函数反比例函数形式的最值问题。第五类:求线段之和（或积）的最值问题破解方略之五：运用垂线段不不小于等于折线段之和。例7：若椭圆内有一点,为右焦
8、点,椭圆上的点使得的值最小，则点的坐标为 ( ) . . C. D.提示：联系到将用第一定义转化成点到相应准线的距离问题,运用垂线段最短的思想容易得到对的答案。选。思考：将题中的去掉会如何呢？破解方略之六：运用三角形两边之和不小于第三边或三角形两边之差不不小于第三边例8：如图，在直线上任意取一点，通过点且以椭圆的焦点作椭圆，问当在何处时,所作椭圆的长轴最短,并求出最短长轴为多少?分析:要使所作椭圆的长轴最短,固然想到椭圆的定义。基本的解题思路如下:长轴最短三点始终线谋求对称对称变换。在一系列的变化过程中巧妙的运用对称,使我们找到一种简要的解题措施。通过此对称性重要运用PMyOlF1F2xN解：
9、椭圆的两焦点分别为(-3，0）、（3,）,作有关直线的对称点，则直线的方程为由方程组 得的坐标(，)，由中点坐标公式得的坐标(9,6)，因此直线的方程。解方程组 得点坐标（,4)。由于, 点评：对于此类最值问题是将所求的最值转化成三角形两边之和不小于第三边或两点连线最短、垂线段最短的思想。除了上述几类之外，高考中尚有数量积的最值问题、直线斜率（或截距)的最值问题等等,由此可见对于椭圆中的最值问题所波及范畴较广，从中也渗入了求最值的某些常规措施,运用定义、平面几何知识可更有效地将最值问题转化成形的最值问题。椭圆中的最值问题一:求离心率的最值问题1：若为椭圆的长轴两端点,为椭圆上一点，使，求此椭圆
10、离心率的最小值。2：已知椭圆C:两个焦点为,如果曲线C上存在一点,使，求椭圆离心率的最小值。二:求点点（点线）的最值问题:(上海）点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上，且位于轴上方,。(1)求点P的坐标;（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。4:定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。三:求角的最值问题:(浙江)如图，已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1，F在轴上,长轴A2的长为，左准线与轴的交点为M,MA1|AF1|21。（）求椭圆的方程; （)若直线l1：x=m(|m|
11、1），P为l1上的动点，使F12最大的点OF2F1A2A1PMP记为Q，求点Q的坐标 (并用m表达） 。四：求面积的最值问题例6：（全国I）、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点已知与共线，与共线，且求四边形的面积的最小值和最大值五：求线段之和（或积）的最值问题7:若椭圆内有一点,为右焦点，椭圆上的点使得的值最小，则点的坐标为 （ )A. B. CD.PMyOlF1F2xN8：如图,在直线上任意取一点,通过点且以椭圆的焦点作椭圆，问当在何处时,所作椭圆的长轴最短,并求出最短长轴为多少？9已知点F是椭圆的右焦点，M使这椭圆上的动点，A（2,）是一种定点，求|A|F的最小值。0已知定点A(，1
12、),F(1,0)是椭圆的一种焦点，P是椭圆上的点,求|PA|+3|P的最小值.11椭圆上上一点P到两焦点距离之积为m,则m取最大值时，点的坐标是A B C12求椭圆上的点到直线的最大距离和最小距离oxyF1F2MF113已知的焦点为F1、F2，在直线上找一点M,求以F、2为焦点,通过点M且点到两焦点的距离之和最小时的椭圆方程.运用双曲线模型解题数学问题“模型化”的重要思想就是构造一种“实物”作为数学问题的元素,把数学问题中元素间抽象的互相关系解释为这种“实物”间的一种具体关系。于是,抽象的数学问题就有了一种解释,也就是把这个数学问题建立了一种“数学模型”。实践表白,在解题过程中，建立和运用模型
13、思想，有助于整体性和发明性地解决问题。如下从六个方面就建立和运用双曲线模型解题作点阐明。1.解方程例1.解方程简析与解:由两根式差为4，联想到双曲线的定义，可用双曲线模型解题。原方程即为式可看着动点P(，y)到定点(2,0)与(4,)的距离之差为4,由双曲线的定义知动点(x , y)的轨迹是以（-2 , 0),(4， 0)为焦点,实、虚半轴长分别为2,的双曲线的右支,将y2 = 4代入解得=1(负根舍去)即x1+2解不等式例2.解不等式sc+tan简析与解:考虑到s2-ta=,可构成双曲线模型来解题。令x=sec，y=tn,则原不等式等价于 令x= （)，问题转化为求使平行直线系y=-t与等轴双曲线有交点的一般双曲线弧的范畴。在同一坐标系中分别作出双曲线x2-y2=1及=-+t的图象,知x，-1y1原不等式的解集为k0且a1,试求使方程lga(xak)=(2-a2)有解的k的取值范畴。简析与解：原方程等价于-ak0，联想
