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1、圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用刘定勇（安徽省宁国中学 ，242300） 圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力.文1给出了两个较为简洁的结论：命题1 椭圆，点对应的极线. 双曲线，点对应的极线.抛物线，点对应的极线.命题 2 圆锥曲线中极线共点于P，则这些极线相应的极点共线于点P相应的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性. 以上结论在文2中有证明.如图给出椭圆的极点与对应极线的简图：P在椭圆内P在椭圆外题1、（2010湖北文15）.已知椭圆的两焦点为,点满足,则|+|的取值范围
2、为_，直线与椭圆C的公共点个数_.解析：第一个问题，依题意知，点P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得范围为.第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为在椭圆的内部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线并不经过.还有学生看到这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共点.事实上，是对应的极线，在椭圆的内部，由命题2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.如果能够用极点与极线理论，本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了.题2、（2010重庆文21）已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率.（）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；（）如题图，已知过点的直
3、线：与过点（其中）的直线：的交点在双曲线上，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，求的值. 解析：（I）C的标准方程为C的渐近线方程为 （II）如图，直线和上显然是椭圆的两条切线，由题意点在直线和上，MN即是由E点生成的椭圆的极线.因此直线MN的方程为 MN的方程求出后剩下工作属常规计算.设G、H分别是直线MN与渐近线及的交点，由方程组解得故因为点E在双曲线所以分析：如果是常规方法求直线MN的方程，只能是观察：由题意点在直线和上，因此有故点M、N均在直线上，因此直线MN的方程为应该说很难观察，所以很多学生只能不了了之.题3、（2010江苏18）、在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点
4、为A、B，右焦点为F.设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m0,.（）设动点P满足,求点P的轨迹；（）设，求点T的坐标；（）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.解析：（）（）很简单，略.（）我们先看看常规做法：点T的坐标为直线，与椭圆联立得直线，与椭圆联立得当时，直线MN方程为： 令，解得：.此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）.所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）.分析：怎么样？目瞪口呆吧.应该说，一点也不难，但是很难算对.如果知道点T的坐标为，事实上T的轨迹是，可以看成是一条极线：，所以它一定过定点D（1，0）
5、. 题4、已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。（）求椭圆C的方程；（）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解法一：（）设椭圆的方程为。1分，。4分椭圆的方程为。5分（）取得，直线的方程是直线的方程是交点为7分,若，由对称性可知交点为若点在同一条直线上，则直线只能为。8分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。9分设与交于点由得设与交于点由得10，12分，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上。13分解法二：（）取得，直线的方程是直线的方程
6、是交点为7分取得，直线的方程是直线的方程是交点为若交点在同一条直线上，则直线只能为。8分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。9分的方程是的方程是消去得以下用分析法证明时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明即证即证式恒成立。这说明，当变化时，点恒在定直线上。解法三：（）由得即。记，则。6分的方程是的方程是7分由得9分即12分这说明，当变化时，点恒在定直线上。13分2006高考全国卷（21）（本小题满分为14分）已知抛物线的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（I）证明为定值；（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S
7、的最小值。（21）（本小题满分13分）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。（20）（本小题满分13分）点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.（I）证明: 点是椭圆与直线的唯一交点；（II）证明:构成等比数列。我们知道，各省市专家在命制有关圆锥曲线高考题时，一定会站在一个比较高的位置出发，比较新颖的角度来考虑.而往往他们能够一眼看穿的结论、一招制敌的办法却不为高中同学所熟知.所以，如果我们能够了解一些圆锥曲线的极点极线知识，可以帮助我们快速知道结论，从而指明解题的方向.参考文献：1王兴华.漫谈圆锥曲线的极点与极线两高考试题的统一背景与解法J.中学数学教学，2006（6）2梅向明，刘增贤，林向岩.高等几何M.北京：高等教育出版社，1983
