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1、导数一、导数公式(1) 、几种常见的导数 C :(X )( R)；(ax)=:(exj ； (log a X)=； (In x) ；(sin x) ；(cosx) (2) 、导数运算规则：k f(x):f(x)g(x)；f(x) g(x) :g(x)练习：1、函数y mu的导数为x2、若 f(x) x21nx,则 f (x)3、若 f(x) sin cosx,则 f( )二、函数的单调性f(x)C, f(x)在区间A单调递增f (x)0在A恒成立f(x)C, f (x)在区间A单调递减f (x)0在A恒成立作用：可求单调区间解不等式；或判定函数在某区间单调；常识：看到单调，就想到导数大于等于(
2、或小于等于)0在给定区间恒成立练习：1、已知f(x)ax3 3x2x 1在R上是减函数，则a的取值范围是2、设f (x)是函数f(x)的导函数,y f (x)的图象如图(1)所示，则yf (x)的图象最有可能为3、已知函数y f(x), y g(x)的导函数的图象如下图，那么y f(x), y g(x)的图象g( x)4、已知对任意实数 x，有f( x) f (x),则x 0时()A. f (x)0, g (x)0 B . f (x)0, g (x)0C. f (x)0, g (x)0 D . f (x)0, g (x)01 3 1 25、若f(x)xax (a 1)x 1在(1, 4)内为减
3、函数，在(6, +)上为增函数,32则a的范围是三、极值和极值点(1)、极值点的判别法-函数草图中的转折点或导数草图中与x轴的交点g(x)，且 x 0 时，f (x)0, g (x)0 ,导数的草图注意点：如图，(片,f(xj)是边界点不是极值点；(X2, f (X2)，(X3, f(X3)是转折点，才是极值点，其中(X2,f(X2)极大值点，(X3, f(X3)极小值点，f(X2)是极大值，f(X3)极小值； 极大值、极小值统称极值 是函数值 由于极值点由横坐标决定，因此，常称X2为极大值点，X3极小值点；所以求极值点-求横坐标(即f (x)0的解) 导数的草图需画 X轴；X轴上方，导数大于
4、 0,函数单调递增；下方导数小于0,函数单调递减- 画X轴(2)、求函数y f (x)的极值的方法：求出f (X)0的根；利用导数草图判定 Xi是极大值点还是极小值点；求出极值(3) 求最值的方法求出f (x)0的根X ;作出导数草图；作出函数草图；计算比较得到最值3练习：1、已知函数f(x) x 12x2、已知f f (x) x2x2在(32(x) x bx cx。如图,8在区间3,3上的最大值为 M，则M ，)的值域是y f (x)的图象过点(1，0)(2，0)，则下列说法中：不正确的有 3 X 时，函数yf (x)取到极小值; 函数y f (x)有两个极值点； c 6 ； x 1时，函数
5、yf (x)取到极大值；23、设a b，函数y (x a) (x b)的图像可能是(4、若函数f(X)在xx 11处取极值，则a四、切线：曲线y f (x)在 xXo处切线的斜率kf (Xo)，切点(Xo, f(Xo)，从而切线方程为yf (xo)f (Xo)(X Xo)求切线方程-关键在求切点的横坐标练习：1、设点P(x, y)是y X3 X 上一点，则在 P点处的斜率取值范围是2、曲线y xeX 2x 1在点(o,1 )处的切线方程为BCy1，则切点的横坐标为2x23、已知曲线y X4 3lnx的一条切线的斜率为4 、设P为曲线C： y x2 2x 3上的点，且曲线 C在点P处切线倾斜角的
6、取值范围为0,则点P横坐标的取值范围为 45 、在曲线y x3 3x2 6x 10的切线中，则斜率最小的切线方程是 6、若曲线y=x2 ax b在点(0, b)处的切线方程式 x y 1=0,则a , b7、若曲线2x ax Inx存在垂直于y轴的切线，则实数 a的取值范围是 321、已知函数f(x) x bx解答题ax d的图象过点 p(0，2)，且在点 M ( 1, f (- 1)处的切线方程为6x y 70.(I)求函数y f (x)的解析式；(n)求函数y f (x)的单调区间2、已知f(x)是二次函数，不等式f(x) 0的解集是(0,5),且f (x)在区间 1,4上的最大值是12。
7、37(I )求f(x)的解析式；(II )是否存在自然数 m,使得方程f(x)0在区间(m,m 1)内x有且只有两个不等的实数根若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。3、 设函数 f(x) tx2 2t2x t 1(x R，t 0).(I)求f(x)的最小值h(t); (n)若h(t) 2t m对t (0,2)恒成立，求实数 m的取值 范围.4、已知函数f(x) x3 mx2 nx 2的图象过点(一1， 6)，且函数g(x) f (x) 6x的 图象关于y轴对称(I )求m n的值及函数y=f (x)的单调区间；(n )若a0，求函数y=f(x)在区间(a-1, a+1 )内的极值.1 3
8、25、已知函数f(x)=xx axb的图像在点P (0,f(0)处的切线方程为y=3x-23(I )求实数a,b的值；(n )设g (x) =f(x)+是2,上的增函数。x 1(i )求实数m的最大值;(ii) 当m取最大值时，是否存在点Q,使得过点Q的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。1 a6、已知函数 f(x) In x ax1(a R)x1(I )当a 1时，求曲线y f (x)在点(2, f(2)处的切线方程；(ll )当a 时，讨论f (x)2的单调性7、 已知函数f(x) x2 a (x 0，常数a
9、 R).讨论函数f (x)的奇偶性，并说明理由；x若函数f(x)在x 2 ,)上为增函数，求a的取值范围.8、 已知函数f(x) x3 x 求曲线y f(x)在点M(t, f(t)处的切线方程；设 a 0 , 如果过点(a, b)可作曲线y f (x)的三条切线，证明： a b f (a).9、已知函数 f(x) 3ax42(3a 1)x2 4x1(I )当a 时，求f (x)的极值；(ll )若f (x)在 1,1上是增函数，求a的取值范围6二阶导数的意义二阶导数就是对一阶导数再求导一次，意义如下：(1) 斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率(2) 函数的凹凸性。(3) 判断极大值极
10、小值。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小 值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等 于零时，为驻点。、用二阶导数判断极大值或极小值定理f(x)在 X。二阶可导，且 f(X。) 0，f(X。) 0f(X。)0，则f(X)在x0取得极大值;若 f (X0)，则 f(x) 在Xo取得极小值.试问a为何值时,函数f(x)1asinx 3sin3x在x 3处取得极值它是极大值还是极小值求此极值.f (x)acosxcos3x由假设知f(3)0，从而有又当a 2时,(x)2sinx 3sin3x，且(3)i，所以f(x)
11、 2sinx 3sin3x在x 处取得极大值，且极大值f(3)例求函数f(x)x33x29x 5的极大值与极小值.解 f(x)在2,4上连续，可导令f (x) 3x2 6x 93(x 1)(x 3)得思考：f (x)在x1取得极大还是极小值在 x 3取得极大还是极小值f (x) 6x 6-1代入二阶导数表达式为-12 , f (x)在x 1取得极大值3代入二阶导数表达式12,在x 3取得极小值三、函数图像凹凸定理若f (x)在(a,b)内二阶可导,则曲线yf (x)在(a,b)内的图像是凹曲线的充要条件是f(x)0，x 佝 b).曲线yf (x)在(a,b)内的图像是凸曲线的充要条件是f(x)
12、0 ,x (a,b)。几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间I上有f(x) 0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反 之在该线段的上方。1.曲线的凸性对函数的单调性、极值、最大值与最小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情况但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它f(xjf(X2)f(4X2)2 2定义4.5.1 设yf(x)在(a,b)内可导，若曲线y f (x)位于其每点处切线的上方，则称它为在(a,b)内下凸(或上凹)；若曲线yf(x)位于其每点处切线的下方，则称它在(a,b)内上凸(或下凹).相应地，也称函数y f (x)分别为(a,b)内的下凸函数和上凸函数(通 常把下凸函数称为凸函数 ).f (x)(其中为切线的倾角)f (x)随着x的增大而减小，也就从图1 1和图1 2明显看出，下凸曲线的斜率 tan随着x的增大而增大，即f(X)为单增函数；上凸曲线斜率是说，f(X)为单减函数.但f (x)的单调性可由二阶导数f (x)来判定，因此有下述定理.定理4.5.1 若 f(x) 在 (a,b) 内二阶可导，则曲线y f(x) 在 (a,b) 内下凸(凹函数)的充要条件是f (x)0 x (a,b).
