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1、实验六离散线性时不变系统分析、实验目的1.掌握离散方法。LSI系统的单位序列响应、单位阶跃响应和任意激励下响应的MATLAB求解2.3.4.掌握离散掌握离散掌握离散LSI系统的频域分析方法；LSI系统的复频域分析方法；LSI系统的零极点分布与系统特性的关系。二、实验原理及方法1. 离散LSI系统的时域分析阶LSI离描述一个N阶线性时不变离散时间系统的数学模型是线性常系统差分方程, 散系统的差分方程一般形式为(6.1)NM aky(n - k)=為 bi x(n i) k=0i =0也可用系统函数来表示MZ biZH(z)_Yz!_ 亠H (z)NX(z) Z akZk=0b(z)b) - Dz
2、，b2z |l( ba(z)JMM zTn1 - a2Z |l| - aNz(6.2)ak，bi的数据确定了，系统系统函数H(z)反映了系统响应和激励间的关系。一旦上式中的性质也就确定了。特别注意a必须进行归一化处理，即a。=1。对于复杂信号激励下的线性系统，可以将激励信号在时域中分解为单位序列或单位阶跃序列的线性叠加，把这些单元激励信号分别加于系统求其响应，然后把这些响应叠加， 即可得到复杂信号作用于系统的零状态响应。因此，求解系统的单位序列响应和单位阶跃响应尤为重要。由图6-1可以看出一个离散 LSI系统响应与激励的关系。图6-1离散LSI系统响应与激励的关系(1)单位序列响应(单位响应)
3、单位响应h(n)是指离散LSI系统在单位序列、.(n)激励下的零状态响应，因此 足线性常系数差分方程(6.1)及零初始状态，即_NJ， h(T“h(2)akh(n -k) 0 (n -丨)k =0i =0按照定义，它也可表示为h(n) = h(n) 、：( n)对于离散LSI系统，若其输入信号为 x(n)，单位响应为h(n)，则其零状态响应h(n)满(6.3)(6.4)yzs( n)yzs(n) =x(n)* h(n)(6.5)位响应h(n)，就可求得系统对任何输入信号x(n)所产生的零状态响应yzs(n)可见，h(n)能够刻画和表征系统的固有特性，与何种激励无关。一旦知道了系统的单MATLA
4、B提供了专门用于求连续系统冲激响应的函数impz()，其调用格式有h, n=impz(b,a)求解离散系统的单位响应，其中b=b0,b,MII紛，a=1,a皑川，a”n =0,1|2j|；h, n=impz(b,a,N)求解离散系统的单位响应，采样点数由N 确定，n =0,1,2, Hl,N-1；impz(b,a):在当前窗口，用 stem(n,h)绘出图形。(2) 单位阶跃响应u(n)激励下的零状态响应，它可(6.6)单位阶跃响应s( n)是指离散LTI系统在单位阶跃序列 以表示为ns(n) = u(n) h(n) = h(m)m 上式表明，离散LSI系统的单位阶跃响应是单位响应的累加和，系
5、统的单位阶跃响应和系统的单位响应之间有着确定的关系，因此，单位阶跃响应也能完全刻画和表征一个LSI系统。MATLAB提供了专门用于求离散系统单位阶跃响应的函数stepz()，其调用格式有s,n=stepz(b,a):求解离散系统的单位阶跃响应，其中bb ，a -1, a1, a2J H , aN s, n=stepz(b,a,N) n =0,1,2j|l,N-1；n 0,1,2j|；:求解离散系统的单位阶跃响应，采样点数由N确定，stepz(b,a):在当前窗口，用stem(n,s)绘出图形。(3) 任意激励下的零状态响应已经知道，离散LSI系统可用常系数线性差分方程(6.1)式来描述，Mat
6、lab提供的函数dlsim()能对上述差分方程描述的离散LSI系统的响应进行仿真，该函数不仅能绘制指定时间范围内的系统响应波形图，而且还能求出系统响应的数值解。其调用格式有dlsim(b,a, x):求解输入序列为x的零状态响应需要特别强调的是，Matlab总是把由分子和分母多项式表示的任何系统都当作是因果系统。所以，禾U用impz (b,a) ，stepz(b,a) ，dlsim(b,a,x)函数求得的响应总是因果信号。冋时，卷积和也是LSI系统求解零状态响应的重要工具之一。假设系统的输入信号为x(n)，单位响应为h(n)，则系统的零状态响应y(n)可由(6.5)式求解。Matlab提供了专
7、门用于求离散系统卷积和的函数conv()，其调用格式有y=conv(x,h):求解序列x, h的卷积和，若序列 x的长度为n1，序列h的长度为n2，卷 积和y的长度为n1+n2-1。这一点需要特别注意，否则，作图时容易造成横纵坐标长度不匹配。(4) 带初始状态的任意激励下的全响应(6.7 )任意激励下的离散 LSI系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和，表示为y(n) = yzi( n) yzs( n)在理论学习的过程中，同学们对低阶差分方程的求解已颇为头痛，高阶差分方程直接求解几乎不可能。Matlab提供了用于求离散系统全响应的函数filter()，其调用格式有y=filter( b,a,
8、x) :求解零状态响应；y=filter( b,a,x,zi):求解初始条件为zi的系统的全响应，zi向量的长度为 max(length(a),length(b)-1，返回值为系统的全响应。z = filtic(b,a,y,x) : 将初始状态转换为初始条件，其中x 二x(- 1 X 厂(x|2 ) ,x，-ymy(-1),y(-2), y(-3)山 y(-n)；z = filtic(b,a,y):将初始状态转换为初始条件，其中x = 0 ，y 二y(1),y(2),y(3),HI,y( n)。2离散LSI系统的复频域(Z域)分析(1) 利用Z变换解差分方程在前面图6-1中表示了离散系统的响应
9、与激励的关系，由图可知，系统的响应既可以用时域的方法求解，也可以用Z域的方法求解。当已知系统输入序列的Z变换x(Z)，系统函数H(z)时，系统响应序列的Z变换可由Y(z) = X(z)H (z)求出。Matlab提供了用于求序列Z变换和Z反变换的函数，其调用格式有X=ztrans(x):求无限长序列x的Z变换，返回Z变换的表达式，注意这里 x，X都是 符号表达式；x=iztrans(X):求X(z)的Z反变换x(n)，返回Z反变换的表达式，注意这里x，X都是符号表达式；r,p,c=residuez(b,a):把 b(z)/a(z)展开成部分分式；b,a=residuez(r,p,c):根据部分
10、分式的r、p、c数组，返回有理多项式。(2) 系统的零极点分布与系统因果性和稳定性的关系因果系统的单位响应h(n) 一定满足当n 0时，h(n) =，那么其系统函数H(z)的收 敛域一定包含：点，即：点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域是圆外区域。系统稳定要求：，对照z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。、| h(n)|n 二:如果系统因果且稳定，收敛域包含:点和单位圆，那么收敛域可表示为：r ：| z |_ ： , 0 ： r ： 1(6.8)MATLAB提供了用于求系统零极点的函数，其调用格式有roots():利用多项式求根函数来确定系统函数的零极点位置；roots(a):求极点
11、位置，a为系统函数h(z)分母多项式所构成的系数向量； roots(b):求零点位置，b为系统函数 日(z)分子多项式所构成的系数向量； zplane(b,a):绘制由行向量b和a构成的系统函数的零极点分布图； zplane(z,p):绘制由列向量z确定的零点、列向量 p确定的极点构成的零极点分布图。3)系统的零极点分布与系统频率响应的关系将式(6.2)因式分解，得到式中,MH (1 -注二)H(z)i【(1-dkzJ k=1， 是h (z)的零点，是其极点。A = b. a。 Cm H (z)dk(6.9)A参数影响频率响应的幅度大小，影响系统特性的是零点Cm和极点dk的分布。下面采用几何方
12、法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。将式(6.9)的分子、分母同乘以ZN M，得到:MnH(z)二 A罟I 丨(1-dkZ)k4假设系统稳定，将 Z _ej.代入上式，得到频率响应z e(1-CmZJ)AznM|丨(Z-Cm)m丄NI 丨(z-dk)k 二(6.10)设 N =M，在z平面上,示，同样e _dM丨丨(J - Cm)H (ej=Aej(N 恥Nil (e-dk)k 4=H (j)(6.11)由式(6.11)得到NnH(eb) = Am-(6.12)NIT (ej -dk)k4用一根由零点 指向单位圆(J J上任一点B的向量 表 e -陥CmeCmB用一根由极点人指向单位圆(
13、e)上任一点B的向量来表示，kdkedkB和分别称为零点矢量和极点矢量，用极坐标表示为：dkB将 和表示式代入式(6.12)，得到CmBd kBcm BCmB fe小，dkdkeJk。NN,Ni【dkBk=1ej ；c)(6.13)n (e-Cm) n CmB H(ej )二 A罟A wn (e-dk)k ANCmn|H(ej )卜 A罟n dkk珀NN(614)T J八m八1m dk d系统或者信号的频率特性由式(6.佝和式(6.14)确定。按照式(6.13)，知道零极点的分布后，可以很容易地确定零极点位置对系统特性的影响。当B点转到极点附近时，极点矢量长度最短，因而幅度特性可能出现峰值，且
14、极点愈靠近单位圆，极点矢量长度愈短，峰值愈高愈尖锐。如果极点在单位圆上，则幅度特性为：，系统不稳定。对于零点，情况相反，当B点转到零点附近时，零点矢量长度变短，幅度特性将出现谷值，且零点愈靠近单位圆， 谷值愈接近零。当零点在单位圆上时，谷值为零。综上所述，极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷值位置及形状。Matlab提供了专门用于求离散系统频率响应的函数freqz(),其调用格式如下：H,w = freqz(b,a,n):返回数字系统的n点频率值(复数)，这n个点均匀地分布在0,n上，系统默认的采 样点数目为512点；H,f = freqz(b,a,n,Fs):用于对H(e)在0, Fs/2上等间隔采样n点，采样点频率及 相应的频响值分别存放在f和H中。H = freqz(b,a,w):用于对h (ej)在【，2 i上进行采样，采样频率点由w指定。H = freqz(b,a,f,Fs):用于对H (e)在【，Fs上进行采样，采样频率点由 f指定。 f
