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1、二次函数压轴题解题技巧引言：解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐 含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条 件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思 路和方法当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条 件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。一、动态：动点、动线1如图，抛物线与x轴交于A(X1,0
2、)、B(X2, 0)两点，且X1X2,与y轴交于点C(0, 4),其中Xi、X2是方程x2 2x 8 = 0的两个根.(1) 求这条抛物线的解析式；(2)点P是线段AB上的动点，过点P作PE/ AC交BC于点E,连接CP当厶CPE的面积最大时，求点 P的坐标；(3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点， 是否存在这样的点 Q使厶QBC成为等腰三角 形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.二、圆/2. 如图1,在平面直角坐标系 xOy,二次函数y= ax + bx+ c(a 0)的图象顶点为 D,与y 轴交于点C,与x轴交于点 A B,点A在原点的左侧，点 B的坐标为(
3、3 , 0) , OB= OCtan / ACO=(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M N,且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；(3) 如图2,若点G2 , y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点， 当点P运动到什么位置时， AGP的面积最大？求此时点 P的坐标和厶AGP的最大面积.yD 图2三、比例比值取值范围3如图是二次函数 y =（x m）2 k的图象，其顶点坐标为M（l,-4）.（1）求出图象与x轴的交点A,B的坐标；5（2） 在二次函数的图象上是否存在点P,使S-PABSMAB，若存在，求出P点的坐标;4 s若不
4、存在，请说明理由；（3） 将二次函数的图象在X轴下方的部分沿X轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y = x b （b :：: 1）与此图象有两个公共点时，b的取值范围四、探究型4.如图，直线y = 3x 3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、 另一点C（ 3,0）.求抛物线的解析式；在抛物线的对称轴上是否存在点0,使厶ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由五、最值类5.如图，在平面直角坐标系中， 二次函数y =x2 bx c的图象与x轴交于A B两点，A 点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0,-
5、3 )点，点P是直线BC下方 的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2) 连结PO PC并把 POC沿 CO翻折，得到四边形 poPc 那么是否存在点 P,使四 边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在请说明理由.(3) 当点P运动到什么位置时，四边形ABPC勺面积最大并求出此时 P点的坐标和四边形 ABPC勺最大面积.课后作业1. 在平面直角坐标系中，已知A 4, 0) , B(1 , 0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C,过点C作圆的切线交x轴于点D.(1) 求点C的坐标和过 A B, C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直
6、线交抛物线于 E, F两点，问：是否存在以线段 EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在,2. 已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，矩形OABC勺边0A在y轴的正半轴上，OC在x 轴的正半轴上，0A 2,0C= 3过原点0作/AOC勺平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DEI DC交0A于点E.(1) 求过点E、D C的抛物线的解析式；(2) 将/ EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点 F,另一边与线段0C交于点G如果DF与(1 )中的抛物线交于另一点 M点M的横坐标为-，那么EF 5=2GC是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理
7、由；(3) 对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q使得直线 GC与 AB的交点P与点CG构成的 PCG!等腰三角形？若存在， 请求出点C的坐标；若不存在， 请说明理由.23. 如图，抛物线 y= ax + bx+ c(a 0)与x轴交于 A 3, 0)、B两点，与y轴相交于点C(0 , 、,3).当x = 4和x= 2时，二次函数 y= ax 2+ bx+ c(a 0)的函数值y相等，连 结AC BC (1)求实数a, b, c的值；(2) 若点M N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动.当运动时间为
8、t秒时，连结 MN将厶BMN沿MN翻折，B点恰好落在 AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；1 24. 如图，抛物线 y= x+bx 2与x轴交于 A B两点，与y轴交于C点，且A ( 1, 0).2求抛物线的解析式及顶点D的坐标；判断 ABC勺形状，证明你的结论;点Mm 0)是X轴上的一个动点，当面积最大5、如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(一1,0)、( 0, 3)，点B在x轴上.已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线 x= 1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点P与B、C不重合)，过点P作y轴的平行线交BC于点F .(1)求该二次函数的解析
9、式；(2) 若设点P的横坐标为 m,试用含 m的代数式表示线段 PF的长；x= 1(3) 求厶PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标.6、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A (-4, 0), B (0, -4), C (2, 0)三点.(1) 求抛物线的解析式；(2) 若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为 m， AMB的面积为S.求 S关于m的函数关系式，并求出 S的最大值.(3) 若点P是抛物线上的动点，点 Q是直线y=- x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.讨论等腰1 27、如图，已知抛物线 y=丄x + b
10、x+ c与y轴相交于C,与x轴相交于 A、B,点A的坐标2为(2, 0),点C的坐标为(0, - 1).(1) 求抛物线的解析式；备用图(2) 点E是线段AC上一动点，过点 E作DE丄x轴于点D,连结。心，当厶DCE的面积 最大时，求点D的坐标；28 (武汉市中考)如图，已知抛物线 y = x + bx+ 3与x轴交于点B (3, 0),与y轴交于 点A, P是抛物线上的一个动点， 点P的横坐标为 m (m3),过点P作y轴的平行线PM , 交直线AB于点M .(1)求抛物线的解析式；(2) 若以AB为直径的O N与直线PM相切，求此时点 M的坐标；(3) 在点P的运动过程中， APM能否为等
11、腰三角形？若能， 求出点M的坐标；若不能， 请说明理由.论直角三角形19、如已知：如图一次函数 y= - X+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B；二次函数21 2 1y= x + bx+ c的图象与一次函数 y= x + 1的图象交于 B、C两点，与 x轴交于 D、E 2 2两点且D点坐标为(1, 0)( 1)求二次函数的解析式；(2)求四边形 BDEC的面积S；(3) 在x轴上是否存在点 P，使得 PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求 出所有的点P,若不存在，请说明理由.10、(九市联考)如图，抛物线与 x轴交于A (- 1, 0 )、B ( 3, 0)两点，与y轴交于点C(0
12、, - 3)，设抛物线的顶点为 D .( 1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；(2) 以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？(3) 探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与 BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.讨论四边形211、二次函数y= x + px+ q( pv 0)图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C(0, - 1), ABC的面积为-.(1)求该二次函数的关系式；(2)过y轴上的一点 M ( 0, m)作y轴4的垂线，若该垂线与 ABC的外接圆有公共点，求 m的取值范围；(3)在该二次函数
13、的图象上是否存在点D，使四边形点D的坐标；若不存在，请说明理由.2017中考二次函数压轴题专题分类训练题型一：面积问题【例1】如图2,抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B求抛物线和直线 AB的解析式；(1)(2)(3)设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由P,使 Sapab= Sa cab,求厶CAB的铅垂高CD及Sacab ；【变式练习】1.如图，在直角坐标系中，点 A的坐标为（一2, 0），连结OA将线段OA绕原点O顺时针旋 转120,得到线段OB（1）求点B的坐标；（2）求经过 A O B三点的
14、抛物线的解析式；（3） 在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C,使厶BOC勺周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点戸是（2）中的抛物线上的动点， 且在x轴的下方，那么 PAB是否有最大面积？ 若有，求出此时 P点的坐标及 PAB的最大面积；若没有，请说明理由.2.如图，抛物线 y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为 A （- 4, 0）、B（2, 0）,与y轴交于点C,顶点为D. E （1, 2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G（ 1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标;（2）在直线EF上求一点耳使厶CDH勺周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当 K运动到什么位置时， EFK的面积最大？并求出最大面积.3. 如图，已知：直线 y - -x 3交x轴于点A，交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B C （1，0）三点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y - 3上有一点P,使 ABO与 ADP相似，求出点 P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使 ADE的面积等于四边形APCE勺面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由.题型二：构造直角
