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1、7.4基本不等式2014高考会这样考1.利用基本不等式求最值、证明不等式；2.利用基本不等式解决实际问题复习备考要这样做1.注意基本不等式求最值的条件；2.在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用1 基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2 几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2 (a，bR)(4)2 (a，bR)3 算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4 利用基本不等式求最值问题已知x0
2、，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)难点正本疑点清源1 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误2 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab； (a，b0)逆用就是ab2 (a，b0)等还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等3 对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数yx(m0)的单调性1
3、 若x0，y0，且xy18，则xy的最大值是_答案81解析由于x0，y0，则xy2，所以xy281，当且仅当xy9时，xy取到最大值81.2 已知t0，则函数y的最小值为_答案2解析t0，yt4242，且在t1时取等号3 已知x0，y0，且2xy1，则的最小值是_答案8解析因为(2xy)4428，等号当且仅当y，x时成立4 (2012浙江)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是 ()A. B. C5 D6答案C解析x0，y0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)25(当且仅当x2y时取等号)，3x4y的最小值为5.5 圆x2y22x4y10关于直线2axby20 (a，bR)对
4、称，则ab的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析由题可知直线2axby20过圆心(1,2)，故可得ab1，又因ab2 (ab时取等号)故ab的取值范围是.题型一利用基本不等式证明简单不等式例1已知x0，y0，z0.求证：8.思维启迪：由题意，先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质即可得证证明x0，y0，z0，0，0，0，8.当且仅当xyz时等号成立探究提高利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题 已知a0，b0，c0，且abc1.求证：9.证明a0，b0，c0，且
5、abc1，3332229，当且仅当abc时，取等号题型二利用基本不等式求最值例2(1)已知x0，y0，且2xy1，则的最小值为_；(2)当x0时，则f(x)的最大值为_思维启迪：利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换如第(1)问把中的“1”代换为“2xy”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式答案(1)32(2)1解析(1)x0，y0，且2xy1，332.当且仅当时，取等号(2)x0，f(x)1，当且仅当x，即x1时取等号 (1)已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3 B4 C. D.(2)已知ab0，则a2的最小值是_答案
6、(1)B(2)16解析(1)依题意，得(x1)(2y1)9，(x1)(2y1)26，即x2y4.当且仅当即时等号成立x2y的最小值是4.(2)ab0，b(ab)2，当且仅当a2b时等号成立a2a2a2216，当且仅当a2时等号成立当a2，b时，a2取得最小值16.题型三基本不等式的实际应用例3某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用当侧面的长度为多少时，总造价最低？思维启迪：用长度x表示出
7、造价，利用基本不等式求最值即可还应注意定义域0x5；函数取最小值时的x是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性解由题意可得，造价y3(2x150400)5 8009005 800 (00)，即x80时“”成立，故选B.忽视最值取得的条件致误典例：(12分)已知a、b均为正实数，且ab1，求y的最小值易错分析在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到审题视角(1)求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件(2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围规范解答解方法一y
8、22222.10分当且仅当ab时，y取最小值，最小值为.12分方法二yabababab2.6分令tab2，即t.又f(t)t在上是单调递减的，10分当t时，f(t)min，此时，ab.当ab时，y有最小值.12分温馨提醒(1)这类题目考生总感到比较容易下手但是解这类题目却又常常出错(2)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错(3)本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件.方法与技巧1 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分
9、析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点2 恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形比如：(1)当x2时，x(x2)2224.(2)0x，x(83x)(3x)(83x)2.失误与防范1使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可2在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件3连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1
10、(2011陕西)设0ab，则下列不等式中正确的是()Aab BabCab D.ab答案B解析0ab，a0，即a，D错误，故选B.2 (2012福建)下列不等式一定成立的是()Alglg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)答案C解析当x0时，x22xx，所以lglg x(x0)，故选项A不正确；而当xk，kZ时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x0时，有1，故选项D不正确3 设x，yR，a1，b1，若axby3，ab2，则的最大值为()A2 B. C1 D.答案C解析由axby3，得：xloga3，ylogb3，由a
11、1，b1知x0，y0，log3alog3blog3ablog321，当且仅当ab时“”成立，则的最大值为1.4 已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为 ()A. B. C. D.答案B解析0x0.x(33x)3x(1x)32.当x1x，即x时取等号二、填空题(每小题5分，共15分)5 已知x，yR，且满足1，则xy的最大值为_答案3解析x0，y0且12，xy3.当且仅当时取等号6 (2011湖南)设x，yR，且xy0，则的最小值为_答案9解析54x2y2529，当且仅当x2y2时“”成立7 某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_答案20解析设每次购买该种货物x吨，则需要购买次，则一年的总运费为2，一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为x240，当且仅当x，即x20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨三、解答题(共22分)8 (10分)已知a0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.证明(1)
