《新培优同步人教A版数学必修二练习：4.2.3 直线与圆的方程的应用 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新培优同步人教A版数学必修二练习：4.2.3 直线与圆的方程的应用 Word版含解析（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.2.3直线与圆的方程的应用课时过关能力提升一、基础巩固1.若某洞口的横截面是半径为5 cm的半圆,则该半圆的方程是()A.x2+y2=25B.x2+y2=25(y0)C.(x+5)2+y2=25(y0)D.随着建立的直角坐标系的变化而变化解析:建立的坐标系不同,所得的圆的方程当然也不同.答案:D2.若将直线x+y=1绕点(1,0)逆时针旋转90后与圆x2+(y-1)2=r2(r0)相切,则r的值是()A.22 B.2 C.322 D.1解析:将x+y=1绕点(1,0)逆时针旋转90后,所得直线的方程为x-y=1.又圆的圆心坐标为(0,1),所以相切时有r=|0-1-1|2=2.故r的值为2
2、.答案:B3.一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短距离是()A.4B.5C.32-1 D.26解析:圆C的圆心坐标为(2,3),半径r=1.点A(-1,1)关于x轴的对称点A的坐标为(-1,-1).因为A在反射线上,所以最短距离为|AC|-r,即2-(-1)2+3-(-1)2-1=4.答案:A4.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的和是()A.30B.18C.102 D.52解析:由圆x2+y2-4x-4y-10=0,知圆心坐标为(2,2),半径为32,则圆上的点到直线x+y-14=0的最大距离为
3、|2+2-14|2+32=82,最小距离为|2+2-14|2-32=22,故最大距离与最小距离的和为102,故选C.答案:C5.若直线l1:2x-5y+20=0和直线l2:mx+2y-10=0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,则实数m的值为()A.5B.-5C.5D.以上都不对解析:因为四边形是圆内接四边形,所以四边形对角互补,即直线l1与l2垂直.所以2m-10=0,解得m=5.答案:A6.已知直线2x-y=0与圆C:(x-2)2+(y+1)2=9相交于A,B两点,则ABC(C为圆心)的面积等于()A.25B.23C.43D.45解析:已知圆的圆心坐标为(2,-1),半径r=3,所以圆心到
4、直线的距离d=55=5.所以|AB|=2r2-d2=29-5=4.所以SABC=1245=25.答案:A7.已知圆C:x2+y2+x-6y+3=0上有两个点P和Q关于直线kx-y+4=0对称,则k=.解析:由题意得直线kx-y+4=0经过圆心C-12,3,所以-k2-3+4=0.解得k=2.答案:28.在平面直角坐标系xOy中,若直线ax+y-2=0与圆C:(x-1)2+(y-a)2=16相交于A,B两点,且ABC为直角三角形,则实数a的值是.解析:由题意知ABC为等腰直角三角形,故点C到直线ax+y-2=0的距离为42,即42=|a+a-2|a2+1,解得a=-1.答案:-19.如图,AB是
5、O的直径,CD是O的一条弦,且ABCD,E为垂足.利用坐标法证明E是CD的中点.证明:如图,以O为原点,以直径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.设O的半径为r,|OE|=m,则O的方程为x2+y2=r2.设C(m,b1),D(m,b2),则有m2+b12=r2,m2+b22=r2,即b1,b2是关于b的方程m2+b2=r2的根,解方程得b=r2-m2.不妨设b1=-r2-m2,b2=r2-m2,则CD的中点的坐标为m,r2-m2-r2-m22,即(m,0).故E(m,0)是CD的中点,即E是CD的中点.10.如图,已知隧道的截面是半径为4 m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2
6、.7 m,高为3 m的货车能不能驶入这个隧道?解:如图,以截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则半圆的方程为x2+y2=42(y0).将x=2.7代入,得y=42-2.72=8.710.由题意可得圆心C(a,1)到直线y=ax的距离d=32a2-1=|a2-1|a2+1,得a2=7或1(舍去),故圆C的面积为(a2-1)2=6.故选D.答案:D3.若点P在直线l1:x+y+3=0上,过点P的直线l2与曲线C:(x-5)2+y2=16相切于点M,则|PM|的最小值为()A.2 B.2 C.22 D.4解析:曲线C:(x-5)2+y2=16是圆心为C(5,
7、0),半径为4的圆,连接CP,CM(图略),则在MPC中,CMPM,则|PM|=|CP|2-|CM|2=|CP|2-16.当|PM|取最小值时,|CP|取最小值.又点P在直线l1上,则|CP|的最小值是点C到直线l1的距离,即|CP|的最小值为d=|5+3|1+1=42,则|PM|的最小值为(42)2-16=4.答案:D4.设村庄外围所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路所在直线的方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外围到小路的最短距离为.解析:已知圆的圆心坐标为(2,-3),半径r=2.所以圆心(2,-3)到直线x-y+2=0的距离为72=7222,所以从村庄外围到
8、小路的最短距离为722-2.答案:722-25.如图,A,B是直线l上的两点,且|AB|=2.两个半径相等的动圆分别与l相切于点A,B,C是两个圆的公共点,则圆弧AC,CB与线段AB围成图形的面积S的最大值是.解析:如图,由题意知,当两动圆外切时,围成图形的面积S取得最大值,此时ABO2O1为矩形,且Smax=21-4122=2-2.答案:2-26.如图,已知直线l的解析:式是y=43x-4,并且与x轴、y轴分别交于A,B两点.一个半径为1.5的圆C,圆心C从点0,1.5开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动,当圆C与直线l相切时,求该圆运动的时间.解:设运动时间为t s,则t s后圆心
9、的坐标为(0,1.5-0.5t).因为圆C与直线l:y=43x-4(即4x-3y-12=0)相切,所以|40-3(1.5-0.5t)-12|32+42=1.5,解得t=6或t=16.即该圆运动的时间为6 s或16 s.7.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?解:如图,以台风中心为原点O,东西方向为x轴,建立平面直角坐标系.这样受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程是x2+y2=900,轮船航线所在的直线l的方程为4
10、x+7y-280=0,则问题转化为直线l与圆O是否相交.圆心O到直线l的距离是d=|-280|42+72=2806530,则直线l与圆O是相离的,所以轮船不改变航线,不会受到台风影响.8.有一种商品,A,B两地均有出售且价格相同,某居住地的居民从两地往回运时,每千米的运费A地是B地的3倍.已知A,B两地相距10 km,问这个居住地的居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算?(仅从运费的多少来考虑)解:以AB所在的直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系.|AB|=10,所以A(-5,0),B(5,0),设P(x,y)是区域分界线上的任一点,连接PA,PB.设从B地运往P地每千米的运费为a,即从B地运往P地的运费为|PB|a,则从A地运往P地的运费为|PA|3a,当运费相等时,就是|PB|a=3a|PA|,即3(x+5)2+y2=(x-5)2+y2, 整理得x+2542+y2=1542.所以在表示的圆周上的居民可任意选择在A地或B地购买,在圆内的居民应选择在A地购买,在圆外的居民应选择在B地购买.
