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1、2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系学习目标重点难点1能够说出直线与圆的位置关系的种类2依据直线和圆的方程，能够熟练地写出它们的交点坐标，学会用代数法判断直线和圆的位置关系；能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小用几何法判断直线和圆的位置关系3能够根据直线和圆的位置关系解决有关问题.重点：直线与圆的位置关系的判断应用难点：通过方程组的解用代数法研究直线和圆的位置关系；圆的几何性质在解题中的应用疑点：根据直线与圆的位置关系如何建立关系式求解有关问题1直线AxByC0(A2B20)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方
2、法几何法：圆心到直线的距离ddrdrdr代数法：由消元得到一元二次方程的判别式000预习交流1判断直线与圆的位置关系时，代数法与几何法哪个更方便？提示：已知直线及圆的方程，判断两者的位置关系时，几何法较简单，一般情况下，在判断直线与圆的位置关系时，优先考虑使用几何法预习交流2直线yx1与圆x2y21的位置关系是()A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心D相离提示：B2怎样解决圆的切线方程与弦长问题？提示：(1)涉及圆的切线方程，其解题思路是圆心到直线的距离等于半径，需注意考虑直线斜率不存在的特殊情形(一般用数形结合的思想求解或验证)(2)对于圆的弦长问题求解常常利用半弦长、半径及弦心距组成的直
3、角三角形求解预习交流3(1)若直线yxb与圆x2y22相切，则b的值为()A4 B2 C D2(2)直线xy20被圆(x1)2y21所截得的线段的长为()A1 B. C. D2提示：(1)B(2)C1直线与圆的位置关系的判断已知直线方程mxym10，圆的方程为x2y24x2y10，当m为何值时，圆与直线(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点？思路分析：直线与圆有两个公共点直线与圆相交；直线与圆只有一个公共点直线与圆相切；直线与圆没有公共点直线与圆相离解：方法一：将直线mxym10代入圆的方程并化简整理得：(1m2)x22(m22m2)xm24m40.4m(3m4)，当0时，
4、即m0或m时，直线与圆相交，直线与圆有两个公共点；当0时，即m0或m时，直线与圆相切，直线与圆只有一个公共点；当0时，即m0时，直线与圆相离，直线与圆没有公共点方法二：已知圆的方程可化为：(x2)2(y1)24，即圆心为C(2,1)，半径r2.圆心C(2,1)到直线mxym10的距离d.当d2时，即m0或m时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d2时，即m0或m时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d2时，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点1判断下列圆与直线的位置关系(1)圆x2y28x2y80，直线4x3y60；(2)圆x2y24x30，直线2xy50.解：(1)圆x
5、2y28x2y80可化为(x4)2(y1)225，圆心(4，1)，半径r5.圆心(4，1)到直线4x3y60的距离d5r，圆与直线相切(2)圆x2y24x30可化为(x2)2y21，圆心(2,0)，半径r1，圆心到直线2xy50的距离d1r，圆与直线相离2(1)已知P(x0，y0)在圆x2y2R2内，试判断直线x0xy0yR2与圆的位置关系；(2)若直线ykx2与圆(x2)2(y3)21有两个不同的交点，求k的取值范围解：(1)点P(x0，y0)在圆x2y2R2的内部，xyR2.又圆心O(0,0)到直线x0xy0yR2的距离为dR，直线x0xy0yR2与圆x2y2R2相离(2)由直线ykx2与
6、圆(x2)2(y3)21有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交，故圆心到直线的距离小于圆的半径，即1，解得k.解决此类问题的关键是搞清直线与圆的位置关系和直线与圆的公共点的个数间的等价关系在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而联立方程的方法用得比较少2直线与圆的相切问题(1)已知圆C：(x1)2(y2)22，求过点P(2,3)的圆的切线方程；(2)过点A(4，3)作圆C：(x3)2(y1)21的切线，求此切线的方程思路分析：(1)先判断点与圆的位置关系，再利用切线的斜率与圆心和切点连线的斜率乘积为1求出切线斜率(2)设出切线方程，利用点到直线的距离
7、等于圆的半径，列出切线斜率所满足的方程，求出斜率，但要注意分斜率存在、不存在两种情况讨论解：(1)因为(21)2(32)22，所以点P(2,3)在圆上由圆的方程可得圆心C(1,2)，半径r.由斜率公式得kCP1，故所求切线的斜率为1.由直线的点斜式方程得所求的切线方程为y3(x2)，即xy50.(2)因为(43)2(31)2171，所以点A在圆外若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以1，解得k.所以切线方程为y3(x4)，即15x8y360.若切线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所
8、以另一条切线方程是x4.综上，所求切线方程为15x8y360或x4.1已知圆O：x2y25和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_解析：点A在圆O上，过点A且与圆O相切的直线的斜率为，故切线方程为y2(x1)令x0得y；令y0得x5.故三角形的面积为5.答案：2求圆心在直线y2x上，且与直线y1x相切于点(2，1)的圆的方程解：设圆心(a，2a)，由圆与直线y1x相切于点(2，1)，得，解得a1.所求圆的圆心为(1，2)，半径r.所求圆的方程为(x1)2(y2)22.求圆的切线方程一般有三种方法：(1)利用常见结论：过圆x2y2r2上一点(x0，y0)的切线
9、方程为x0xy0yr2，代入切点坐标求切线方程；(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)，解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；(3)直接法：由切线斜率与圆心和切点的连线斜率乘积为1，求出切线斜率，再写出直线的点斜式方程即可一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，应注意斜率不存在的情况3直线与圆相交时的弦长问题过点P(4，4)的直线l被圆C：x2y22x4y200截得的弦AB的长度为8，求直线l的方程思路分析：设出直线方程，由圆心到直线的距离d与圆的半径及半弦长构成的直角三角形求解注意讨论斜率存在与否解：圆的方程可化为(x1)2(y2)252，圆心C(1
10、,2)，半径r5.由圆的性质可知圆的半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，圆心到直线的距离d3.当直线ABx轴时，l过(4，4)，AB方程为x4，点C(1,2)到l的距离d|41|3，满足题意当AB与x轴不垂直时，设方程为y4k(x4)，即kxy4k40.d3，解得k.l的方程为y4(x4)，即3x4y40.综上，直线l的方程为x4或3x4y40.1直线x2y50与圆x2y28相交于A，B两点，则|AB|_.解析：d，|AB|222.答案：2有关直线与圆相交时的弦长问题常用几何法来处理如图，若半径为r，弦心距为d，则弦长|AB|2.2(2011湖北高考，文14)过点(1，2)的直线l被圆x2y2
11、2x2y10截得的弦长为，则直线l的斜率为_解析：设直线的斜率为k，则可得直线方程为ykx2k0，圆心到直线距离d，又圆心到直线的垂线段，圆的半径，弦的一半构成直角三角形，所以d221，可求得k1或k.答案：1或1已知2a22b2c2，则直线axbyc0与圆x2y24的位置关系是()A相交但不过圆心 B相交且过圆心C相切 D相离解析：d2，直线与圆相交，且不过圆心(0,0)答案：A2直角坐标平面内，过点P(2,1)且与圆x2y24相切的直线()A有两条 B有且仅有一条C不存在 D不能确定解析：点P(2,1)在圆x2y24外，切线有2条答案：A3若直线xy2被圆(xa)2y24所截得的弦长为2，则实数a的值为()A1或 B1或3 C2或6 D0或4解析：圆心C(a,0)到直线xy2的距离d，由题意得d2()222，解得d.所以，解得a0或a4.答案：D4以点(2，1)为圆心且与直线xy6相切的圆的方程是_解析：r，所求圆的方程为(x2)2(y1)2.答案：(x2)2(y1)25(2011重庆高考，文13)过原点的直线与圆x2y22x4y40相交所得弦的长为2，则该直线的方程为_解析：圆的方程可化为(x1)2(y2)21，可知圆心为(1,2)，半径为1.设直线方程为ykx，则圆心到直线的距离为d，故有0，解得k2.故直线方程为y2x，即2xy0.答案：2xy01
