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1、2019全国卷(理科数学)1.A1,E32019全国卷 已知集合A=-1,0,1,2,B=x|x21,则AB=()A.-1,0,1B.0,1C.-1,1D. 0,1,21.A解析 因为A=-1,0,1,2,B=x|x21=x|-1x1,所以AB=-1,0,1.2.L42019全国卷 若z(1+i)=2i,则z=()A.-1-iB.-1+IC.1-iD.1+i2.D解析 z=1+i.3.I22019全国卷 西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位,阅读过红楼
2、梦的学生共有80位,阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位,则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.83.C解析 设只阅读过西游记的学生有x位,则x+60+(80-60)=90,解得x=10,所以阅读过西游记的学生人数为10+60=70,故该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为=0.7.4.J32019全国卷 (1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为()A.12B.16C.20D.244.A解析 因为(1+2x2)(1+x)4=(1+x)4+2x2(1+x)4,所以展开式中x3的系数为+2=12.5.D320
3、19全国卷 已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.25.C解析 设数列an的公比为q,由题知a10,q0且q1,则解得所以a3=a1q2=4.6.B122019全国卷 已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-16.D解析 令y=f(x)=aex+xln x,则f(x)=aex+ln x+1,由题意知即解得7.B82019全国卷 函数y=在-6,6的图像大致为()A BC D图1-17.B解析 令y=f(x
4、)=,易知f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除选项C;f(4)=0,排除选项D;f(6)=6.75,排除选项A.故选B.8.G52019全国卷 如图1-2,点N为正方形ABCD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则()图1-2A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BMEN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BMEN,且直线BM,EN是异面直线8.B解析 连接BD,则N为BD的中点,连接MN,CM,BE.如图所示,在EDB中,M,N分别是ED,BD的中点,所以MNBE,MN=BE,则四边形MNBE是梯形
5、,BM,EN是梯形的两条对角线,所以直线BM,EN相交.设正方形ABCD的边长为a,由题意可得BCM为直角三角形,则BM=a.记CD的中点为H,连接EH,HN,则EHN为直角三角形,则EN=a,故BMEN.综上所述,BMEN,且直线BM,EN是相交直线.9.D3, L12019全国卷 执行图1-3的程序框图,如果输入的为0.01,则输出s的值等于()图1-3A.2- B.2- C.2- D.2- 9.C解析 x=1,s=0,s=0+1=1,x=,0.01;s=1+,x=,0.01;s=1+,x=,0.01;s=1+,x=,0.01;s=1+,x=,0.01;s=1+,x=,0.01;s=1+,
6、x=,ffB.fffC.fffD.fff11.C解析 因为f(x)为偶函数且在(0,+)单调递减,log341,020=1,所以f=f(-log34)=f(log34)ff(20)=f(1),所以fff.12.C42019全国卷 设函数f(x)=sin(0),已知f(x)在0,2有且仅有5个零点,下述四个结论:f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点;f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点;f(x)在单调递增;的取值范围是.其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.12.D解析 由x0,2,得x+.设2+=t,由题意及函数y=sin x的图像知,t5,6),则,故f(x)在(0,2)有且仅
7、有3个极大值点,而f(x)在(0,2)可能有2个极小值点,也可能有3个极小值点,故正确,不正确,正确;当x时,x+,因为,所以+=,故f (x)在单调递增,正确.故选D.13.F32019全国卷 已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a-b,则cos=.13.解析 因为|c|=3,ac=a(2a-b)=2a2-ab=2,所以cos=.14.D22019全国卷 记Sn为等差数列an的前n项和.若a10,a2=3a1,则=.14.4解析 设数列an的公差为d,由题意得a1+d=3a1,即d=2a1,则S5=5a1+d=25a1,S10=10a1+d=100a1,所以=4.15.H52019全国
8、卷 设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.15.(3,)解析 不妨设F1为椭圆C的左焦点,由题意知|MF1|=|F1F2|=8,则|MF2|=12-|MF1|=4.过M作MN垂直于x轴,垂足为N,则在RtMF1N和RtMF2N中,分别有|MN|2=|MF1|2-|NF1|2=64-|NF1|2,|MN|2=|MF2|2-|NF2|2=16-|NF2|2,故|NF1|2-|NF2|2=48,又|NF1|+|NF2|=|F1F2|=8,所以|NF1|=7,|NF2|=1,所以N的坐标为(3,0),即点M的横坐标为3,又M为C上一点
9、且在第一象限,可得yM=,故M的坐标为(3,).16.G12019全国卷 学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型,如图1-4,该模型为长方体ABCD -A1B1C1D1挖去四棱锥O -EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g. 图1-416.118.8解析 由题易知,四边形EFGH是菱形,且S四边形EFGH=64=12(cm2),四棱锥O -EFGH的高为3 cm,其体积为123=12(cm3).又长方体ABCD -A1B1
10、C1D1的体积为664=144(cm3),故长方体ABCD -A1B1C1D1挖去四棱锥O -EFGH后所得几何体的体积为144-12=132(cm3),1320.9=118.8(g),所以,制作该模型所需原料的质量为118.8 g.17.I22019全国卷 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如图1-5所示的直方图:图1-5记C为事件:“乙离子残留在体
11、内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).17.解:(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00.18.C82019全国卷 ABC的内角A,
12、B,C的对边分别为a,b,c,已知asin =bsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.18.解:(1)由题设及正弦定理得sin Asin =sin Bsin A.因为sin A0,所以sin =sin B.由A+B+C=180,可得sin =cos ,故cos =2sin cos .因为cos 0,故sin =,因此B=60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=a.由正弦定理得a=+.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90.由(1)知A+C=120,所以30C90,故a2,从而SABC.因此,ABC面积的取值范围是.19.G3,G5,G102019全国卷 如图1-6,图是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图.(1)证明:图中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求图中的二面角B -CG -A的大小. 图1-619.解:(1)证明:由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)作EHBC,垂足为H.因为E
