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1、第五节数列的综合应用考点一等差数列与等比数列的综合问题典例(2013全国卷)已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，a11，a13成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求a1a4a7a3n2.解(1)设an的公差为d，由题意得aa1a13.即(a110d)2a1(a112d)于是d(2a125d)0.又a125，所以d0(舍去)或d2.故an2n27.(2)令Sna1a4a7a3n2.由(1)知a3n26n31，故a3n2是首项为25，公差为6的等差数列从而Sn(a1a3n2)(6n56)3n228n.类题通法解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系如果同一数列中部
2、分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解针对训练在等比数列an(nN)中，a11，公比q0，设bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求bn的前n项和Sn及an的通项an.解：(1)证明：bnlog2an，bn1bnlog2log2q为常数，数列bn为等差数列且公差dlog2q.(2)设数列bn的公差为d，b1b3b56，b32.a11，b1log2a10.b1b3b50，b50.解得Sn4n(1).an2
3、5n(nN).考点二等差数列与等比数列的实际应用典例某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元解设an为(2010n)年年底分红后的资金，其中nN，则a121 0005001 500，a221 5005002 500，an2an1500(n2)an5002(an1500)(n2)，即数列an500是首项为a15001 000，公比为2的等比数列an5001 0002n1，an1 0002n1500.
4、(1)a41 0002415008 500，该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元(2)由an32 500，即2n132，得n6，该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元类题通法解数列应用题的建模思路从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：针对训练某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.则第n年初M的价值an_.解析：当n6时，数列an是首项为120，公差为10的等差数列，an1201
5、0(n1)13010n；当n7时，数列an是以a6为首项，为公比的等比数列，又a670，所以an70n6.答案：an考点三数列与其他知识的交汇数列在高考中多与函数、不等式、解析几何、向量交汇命题，近年由于对数列要求降低，但仍有一些省份在考查数列与其他知识的交汇.归纳起来常见的命题角度有：(1)数列与不等式的交汇；(2)数列与函数的交汇；(3)数列与解析几何的交汇.角度一数列与不等式的交汇1(2014湖北七市模拟)数列an是公比为的等比数列，且1a2是a1与1a3的等比中项，前n项和为Sn；数列bn是等差数列，b18，其前n项和Tn满足Tnnbn1(为常数，且1)(1)求数列an的通项公式及的值
6、；(2)比较与Sn的大小解：(1)由题意得(1a2)2a1(a31)，即2a1，解得a1，ann.设bn的公差为d，又即解得或(舍)，.(2)由(1)知Sn1n，Snn1，又Tn4n24n，由可知0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为()Ap1，p2 Bp3，p4Cp2，p3 Dp1，p4解析：选D设ana1(n1)ddna1d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an3n12，则满足已知，但nan3n212n并非递增数列，所以p2为假命题；若ann1，则满足已知，但1是递减数列，所以p
7、3为假命题；设an3nd4dna1d，它是递增数列，所以p4为真命题3(2013湖南省五市十校联合检测)已知函数f(x)是定义在(0，)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(xy)f(x)f(y)，若数列an的前n项和为Sn，且满足f(Sn2)f(an)f(3)(nN)，则an为()A2n1 BnC2n1 D.n1解析：选D由题意知f(Sn2)f(an)f(3)(nN)，Sn23an，Sn123an1(n2)，两式相减得，2an3an1(n2)，又n1时，S123a1a12，a11，数列an是首项为1，公比为的等比数列，ann1.4将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差即a2 0125()A2 0182 012 B2 0182 011C1 0092 012 D1 0092 011解析：选D结合图形可知，该数列的第n项an234n2.所以a2 012
