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1、特征函数在概率中的应用 摘要 特征函数是一个非常重要的概念及其工具，在概率研究中起到非常重要的作用，本文将总结特征函数的定义，性质及其在概率中的应用。 关键词 特征函数；极限；随机变量；随机分布1 引言 随机变量是数学研究中经常遇到的一项重要内容。随机变量的分布函数则可以全面描述随机变量的统计规律，但是，有时候分布函数或分布密度这些工具使用起来并不方便，如求独立随机变量和的分布密度，用卷积求太烦琐和复杂，这里将从介绍特征函数的定义、性质出发, 介绍如何用特征函数更方便、优越的表示随机变量的分布, 并在随机变量的基本性质引导下, 讨论并阐述特征函数的各种应用. 特征函数也是概率论中研究极限定理的
2、强有力的工具。在概率论和数理统计中, 求独立随机变量和的分布问题是经常遇到的，本文介绍了特征函数的基本概念、主要性质以及特函数的一系列应用.2 特征函数2.1 特征函数的定义 设X 是一个随机变量，称 , t +,为X 的特征函数.因为， 所以总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的.当离散随机变量X 的分布列为, k=1,2,3,.则X 的特征函数为 , t +.当连续随机变量X的密度函数为 ,则X 的特征函数为 ， t +. 2.2 特征函数的性质 性质1 令的特征函数分别为且与相互独立，那么的特征函数为. 证明 设是两个相互独立的随机变量，则的特征函数中的与也相互独立.由数学期望的
3、性质可得 故性质1得证. 性质2 令随机变量存在有n阶矩，那么的特征函数可以微分n次，且若则 证明 根据假定故下式中在积分号下对t求导n次，于是对，有 令t=0，即. 性质3 若是特征函数，则（1），（2）（3）也是特征函数. 证明 （1）若是随机变量的特征函数，那么可以看作是随机变量（）的特征函数. （2）若与独立同分布，其特征函数为，那么是随机变量的特征函数. 性质4（唯一性）随机变量的分布函数仅由特征函数决定. 证明 设是任取的的连续点.令设在的连续点趋近，则有.根据分布函数左连续，并且的连续点在直线上稠密，即对每个有的连续点.从而由其连续点上的值唯一确定. 性质5 当且仅当时，函数与都
4、是一个特征函数. 证明 若与都是特征函数，设随机变量与相互独立，且与的特征函数分别是和.因为的特征函数为，所以.故有因此必存在常数,使得所以服从单点分布即.反过来，若，则也是特征函数.所以当且仅当时，与都是特征函数. 3 特征函数的应用3在求数字特征上的应用 求分布的数学期望和方差. 解 由于的分布的特征函数为 于是由得， 由此即得 我们可以看出用特征函数求正态分布的数学期望和方差, 要比从定义计算方便的多.3.2 在求独立随机变量和的分布上的应用 利用归纳法, 不难把性质4 推广到n 个独立随机变量的场合,而是 n 个 相 互 独 立 的 随 机 变 量 , 相 应 的 特 征 函数为则 的
5、特征函数为 设是n个相互独立的，且服从正态分布 的正态随机变量.试求 的分布. 解 由于 的分布为，故相应的特征为 ，由特征函数的性质 可知 的特征函数为 而这正是 的特征函数.由分布函数与特征函数的一一对应关系即知 服从3.3 在证明二项分布收敛的应用 在n 重贝努力实验中，事件A 每次出现的概率为p(0p1)， 为n 次试验中事件A 出现的次数，则 要证明上述结论只需要证明下面的结论，因为它是下面结论的一个特例。若是一列独立同分布的随机变量，且则有 证明 设的特征函数为则 的特征函数为，又因为所以于是特征函数有展开式 从而对任意的t有， 而是N（0,1）分布的特征函数，由连续定理可知 成立
6、，证毕。 我们知道在 中是服从二项分布。的随机变量， 为“泊松分布收敛于正态分布”。我们把上面的结论常常称为“二项分布收敛于正态分布”。3.5 在证明极限定理的应用 定理1 （辛钦大数定律）设是一列独立分布的随机变量，且数学期望存在，则对任意的，有. 证明 因为具有一样的分布，所以它们也有一样的特征函数.我们把这个特征函数记为，又由于存在，从而特征函数有展开式再由独立性知的特征函数为 .对任意有 .已知是退化分布的特征函数，对应的分布函数为.根据连续性定理的分布函数弱收敛于，因为是常数，则有. 定理2 （林德贝格勒维定理）若是一列独立同分布的随机变量，且待添加的隐藏文字内容2 则有 . 证明
7、设的特征函数，则 的特征函数为.又因为 所以 .于是特征函数的展开式 .从而对任意固定的有 而是分布的特征函数，从而定理得证.3.6 在证明函数的随机变量和分布中的应用. 利用归纳法：我们可以把性质1进行推广到个独立随机变量的场合，令为个相互独立的随机变量，它们所对应的特征函数为则的特征函数为 例 设为个相互独立的随机变量，且它们服从分布的正态随机变量，试求的分布. 解 由得分布为，所以它们对应的特征函数为 我们根据特征函数的性质可知的特征函数 .而它却是分布的特征函数.从而根据分布函数与特征函数的一一对应关系即可知服从分布. 例 设随机变量相互独立且分别服从为的普哇松分布，求 解 对于任何一个，服从参数为的普哇松分布，从而我们知道它的特征函数为 ，而是参数为的普哇松分布的特征函数，从而可知服从参数为的普哇松分布. 参考文献1王梓坤.概率论基础及其应用M.北京：北京师范大学出版社，1996.2杨振明.概率论M.北京：科学出版社，2004.3魏宗舒.概率论与数理统计教程M.北京：高等教育出版社，1983,10. 4 周新国. 利用ASP 访问Web 上的数据库J . 计算机应用研究,1999 . 5 王新生,潘浩. ASP 在Proxy 计费查询系统的应用J . 计算机应用研究,2000 .
