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1、三角问题的题型与方法第 13 16 课时 课题 ：三角问题的题型与方法一复习目标：1熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等2熟悉三角变换常用的方法 化弦法，降幂法，角的变换法等并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明3掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题4熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质5熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、6理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化二考试要求：1理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进
2、行弧度与角度的换算。2掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。3掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。4能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。5了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用 “五点法 ”画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin( x+ )的简图，理解 A 、 、 的物理意义。6会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x 表示。7掌握正弦定理、 余弦定理，
3、并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题。三教学过程：（ ）基础知识详析（一）三角变换公式的使用特点1同角三角函数关系式(1)理解公式中 “同角 ”的含义(2)明确公式成立的条件。例如， tan22，当且仅当k +1=sec(3)掌握公式的变形特别需要指出的是sin =tan ，cos cos =cot sin它使得 “弦 ”可以用 “切 ”来表示(4)使用这组公式进行变形时，经常把“切 ”、“割 ”用 “弦 ”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法(5)几个常用关系式 sin +cos，sin -cos， sin cos；(三式之间可以互相表示)同理可以由sin -
4、cos或 sin cos推出其余两式50三角问题的题型与方法2 1 sin1 sin当 x 0, 时，有 sin x x tan x 222诱导公式(1)诱导公式中的角是使公式成立的任意角(2)正确使用诱导公式的关键是公式中符号的确定 k；k (3)sin(k+ -1)=(sincos(k+-1)=( cos(k Z)熟记关系式sinxcosxcos x； cosxsinx 444443两角和与差的三角函数(1)公式不但要会正用，还要会逆用(2) 公式的变形应用要熟悉熟记： tan +tan =tan( +-tan)(1 tan，)它体现了两个角正切的和与积的关系(3)角的变换要能灵活应用，如
5、 =( +-，) =-(-)，2 =( + -)+()等4倍角公式，半角公式(2)使用二倍角的正弦、余弦公式时，公式的选择要准确如已知 sin ， cos， tan 求 cos2时，应分别选择cos2=1(3)余弦的二倍角公式的变形 升幂公式、降幂公式必须熟练掌握要明确，降幂法是三角变换中非常重要的变形方法对 sin3 ， cos3的公式应记住(4)使用正弦、余弦的半角公式时，要注意公式中符号的确定方法正在使用无理表达式时，须要确定符号；在使用两个有理表达式时，无须确定符号，这是与选用无理表达式最大的区别，因此在化简、证明题中，5和差化积、积化和差公式，这两组公式现在不要求记忆，但要会使用(1
6、)要明确，这两组公式是解决正、余弦的加、减、乘的运算关系式51三角问题的题型与方法(3)对下列关系式要熟记：6 三角变换：三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决7三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点(1)角的变换因为在 ABC 中， A+B+C= ，所以sin(A+B)=sinC ； cos(A+B
7、)=-cosC ；tan(A+B)=-tanC (2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半在非直角 ABC 中， tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(4)在 ABC 中，熟记并会证明： A ， B， C 成等差数列的充分必要条件是B=60 ABC 是正三角形的充分必要条件是A ， B， C 成等差数列且a，b， c 成等比数列8三角形的面积公式：（1） 1 aha 1 bhb 1 chc（ ha、 hb、 hc 分别表示a、 b、 c 上的高）222（ 2） 1 absinC 1 bcsinA 1 acsinB222（ 3
8、） a 2 sin B sin C b2 sin C sin A c 2 sin Asin B 2 sin(BC )2 sin(CA)2sin( AB)（ 4） 2R2sinAsinBsinC （ R 为外接圆半径）（ 5） abc 4R52三角问题的题型与方法（6） s( sa)( sb)( sc) ；s1 (a b c) 2（7） rs9直角三角形中各元素间的关系：如图，在 ABC 中， C 90， AB c，AC b， BC a（ 1）三边之间的关系： a2 b2 c2（勾股定理）（ 2）锐角之间的关系： AB 90；（ 3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）sinA cosB a
9、，cosA sinB b ，cctgA ctgB a ， ctgA tgB b ba10斜三角形中各元素间的关系:如图 6-29，在 ABC 中， A、 B、C 为其内角， a、 b、 c 分别表示A、 B、C 的对边（ 1）三角形内角和： AB C （ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.abc2Rsin Asin Bsin C（R 为外接圆半径）（ 3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍222a b c 2bccosA，222b c a 2cacosB，222c a b 2abcosC（ 4）射影定理：a bc
10、osC ccosB，bacosC ccosA，c acosB ccosA11解三角形： 由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设 ABC 的三边为a、 b、 c，对应的三个角为A、B、 C（ 1）角与角关系： A+B+C = ，（ 2）边与边关系： a + b c， b + c a，
11、c + a b， ab c， bc b（ 3）边与角关系：正弦定理abcs i nAs i nB2R （ R 为外接圆半径） s i nC余弦定理c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c2 2accosB， a2 = b2+c22bccosA它们的变形形式有：a = 2R sinA， sin Aa ， cos Ab2c 2a2（4）面积公式：sin Bb2bcS1 aha1 bhb 1 chc 1 ab sin C 1 ac sin B 1 bc sin A 222222解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、 B、 C），由 A+B+C = 求 C，由正弦定理求
12、a、 b53三角问题的题型与方法（ 2）已知两边和夹角（如 a、b、c），应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C = ，求另一角（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由 A+B+C = 求 C，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况（4）已知三边a、 b、c，应余弦定理求A、 B，再由 A+B+C = ，求角 C（二） 三角函数性质的分析1三角函数的定义域这两种表示法都需要掌握即角x 不能取终边在y 轴上的角函数 y=cotx 的定义域是x或(k ， k+)(k Z) ，这两种表示法都需要掌握即角x 不能取终边在x轴上的角(2)函数 y=secx、 y=cscx 的定义域分别与y=tanx、 y=cotx 相同2三角函数的值域(1)由 |sinx|、1|cosx|1
