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1、解不等式高考要求不等式要求层次重难点一元二次不等式C解一元二次不等式例题精讲板块一：解一元二次不等式（一） 知识容1含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式不等式，叫做一元二次不等式一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以为例）：判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两相异实根有两相等实根没有实根一元二次不等式的解集或，且实数集有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决其方法大致有：用一元二次方程根的判别式，参数大于最大值或小于最小值，变更主元利用函数与方程的思想求解（二）主要方法
2、1解一元二次不等式通常先将不等式化为或的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于时两根之外，小于时两根之间； 2分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理；3高次不等式主要利用“序轴标根法”解 （三）典例分析： 1.二次不等式与分式不等式求解【例1】 不等式的解集是 【变式】 不等式的解集为（ ）AB C D【变式】 不等式的解集是（ ）A B C D2.含绝对值的不等式问题【例2】 已知，则不等式的解集为（ ）ABCD【例3】 不等式的解集为（ ）ABCD【变式】 关于的不等式的解集为空集，则实数的取值围是 _【例4】 若不等式对一切非零实数均
3、成立，则实数的最大值是_【例5】 若不等式的解集中的整数有且仅有，则的取值围为 3.含参数不等式问题【例6】 若关于的不等式在有解，则实数的取值围是（ ）ABCD【变式】 已知，则不等式的解集为 .若不等式和不等式的解集相同，则_【例7】 若不等式的解集为，则的围是（ ）A B C D【例8】 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ）A B C D【例9】 ，若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则（ ）A B C D【例10】 要使满足关于的不等式(解集非空)的每一个至少满足不等式和中的一个，则实数的取值围是 ；已知不等式的解集是，其中，则不等式的解集是 4.解不等式与分类讨论【例
4、11】 设，解关于的不等式【变式】 解关于的不等式【点评】 解含参数的不等式,进行讨论时要注意对所含字母的分类要做到不重不漏.【例12】 求不等式的解集【例13】 解关于的不等式【变式】 解关于的不等式【例14】 解不等式.【点评】 对于二次项系数也含有参数的一元二次不等式，首先应判定二次项系数是否为零，分别加以讨论，然后在二次项系数不为零的条件下，求出判别式的零点，分类进行讨论.5.与二次方程或可化为二次方程的解的问题结合，【例15】 关于的方程至少有一个正的实根，则的取值围是（ ）A B C或 D【例16】 已知关于的方程的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数的取值围是（ ）A B
5、C或 D或【例17】 有如下几个命题：如果，是方程的两个实根且，那么不等式的解集为；当时，二次不等式的解集为；与不等式的解集相同；与的解集相同其中正确命题的个数是（ ）A B C D【例18】 若关于的方程有解，数的取值围.【例19】 已知，若关于的方程有实根，则的取值围是 6.恒成立问题【例20】 若不等式对恒成立，则的取值围是_【变式】 在上恒满足，则的取值围是（ ）A B C D【变式】 若对于，不等式恒成立，数的取值围【点评】 对于有关二次不等式（或）的问题，可设函数，由的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与轴的交点，由判别式进行解决【例21】 不等式对一切成立，则的最小值为（ ）
6、A B C D不等式对任意实数恒成立，则实数的取值围为（ ）ABCD【变式】 对任意，函数的值恒大于零，则的取值围为_ 【例22】 若不等式在时恒成立，试求的取值围【点评】 将参数从不等式中分离出来是解决问题的关键【例23】 若，恒成立，数的取值围.【例24】 设，当时，都有恒成立，求的取值围.【例25】 设对所有实数，不等式恒成立，求的取值围.【例26】 已知不等式对任意实数恒成立，数的取值围【例27】 已知关于的不等式对恒成立，则的取值围是 【例28】 如果对任意实数恒成立，则的取值围是（ ）A B C D【例29】 在上定义运算：若不等式对任意实数x成立，则（ ）A BC D【例30】
7、设不等式的解集为，如果，数的取值围【点评】 若将本题改为：，求的取值围，则本题等价于：当时，恒成立，求的取值围可以通过讨论对应二次函数的对称轴，或者在不等式中将解出，通过求出对应的代数式的取值围解决此问题仅用第二种方法略解如下：，故，从而要满足题意，只需，对恒成立即可故要求在时的最大值，令，则，由对勾函数的单调性知：上式在或时取到最大值比较知：当时，上式有最大值，故当时，有对恒成立即的取值围为板块二：解不等式综合问题（一）典例分析： 1.利用函数单调性解不等式【例31】 解不等式：【变式】 解关于的不等式：2.解不等式与函数综合问题【例32】 已知函数若函数图象上任意一点处的切线的斜率小于，求
8、证：；若，函数图象上任意一点处的切线的斜率为，试讨论的充要条件【备注】 为了缩小讨论围，本题可以一开始将代入中，解得，再进行讨论本题讨论过程中的充要条件的得出结合二次函数的图象会比较容易理解，配图略【例33】 求函数的定义域 (省上杭二中0809学年单元质量检查必修5数学试题) 如果关于x的不等式对一切实数x都成立，则k的取值围是 (省上杭二中0809学年单元质量检查必修5数学试题) 设，若存在，使，则实数a的取值围是（ ）A B或 C D 【例34】 已知函数，若不等式对任意恒成立，数的取值围【例35】 已知不等式对于一切大于的自然数都成立，试数的取值围.【例36】 已知二次函数，如果时，数
9、的取值围【点评】 在闭区间上使分离出，然后讨论关于的二次函数在上的单调性【例37】 设二次函数满足条件： 当时，且； 当时， 在上的最小值为.求最大的，使得存在，只要，就有.【点评】 本题所用方法为先根据已知条件求出小于某个数，再验证是否可取到此值，若能取到，则此值为的最大值【例38】 设为实数，函数若，求的取值围；求的最小值【变式】 设函数，直接写出（不需给出演算步骤）不等式的解集【备注】 本题是卷的文理科必做题的最后一题，文理不分卷，但根据学生的不同有些学生另有选做题，包括选考容与排列组合、空间向量等本题问相当有难度，思路分析如下：，对应的一元二次方程的判别式，当，即时，不等式的解集为；当，即时，记小根，大根，当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为综上可得答案【例39】 已知集合(其中为正常数). 设，求的取值围； 求证：当时不等式对任意恒成立； 求使不等式对任意恒成立的的围.【例40】 如果在某个区间满足：对任意的，都有，则称在上为下凸函数；已知函数证明：当时，在上为下凸函数；若为的导函数，且时，数的取值围【例41】 在上定义运算（、为实常数）记，令如果函数在处有极值，试确定、的值； 求曲线上斜率为的切线与该曲线的公共点； 令，记函数在区间上的最大值为若，证明对任意的，都有【例42】 设，若，试证明：对于任意，有
