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1、第五讲:定积分定积分的概念:设上有界1) 任意分割:2) 作乘积:任取,作乘积3) 作和式:4) 取极限:若不管如何分割,如何选取,当时,上述极限如果存在,则称在上是可积的,并称此极限值为上的定积分,记为 我们规定:函数可积的条件:充分条件:若满足下列条件之一,则上可积:1、上连续;2、只有有限个间断点的有界函数3、单调函数必要条件:若上可积,则在上一定有界。定积分的几何意义:设上可积(1) 若,则(2) 若,则(3) 若有正有负,则例:1、用定义计算积分;2、利用定积分表示下列和式的极限:(1) (2)3、利用几何意义求积分4、比较大小:定积分的性质:设在所讨论的区间上都是可积的,则有性质1
2、 (线性性)推论:性质2 (区间可加性)性质3 (保号性)若性质4 (保不等式性)若 性质5 (绝对可积性及绝对值不等式)性质6 (估值不等式) 积分中值定理: 若 (x)在a,b上连续,则至少存在一点a,b,使微积分基本定理:变上限积分函数:设 (x)在a,b上可积,则对于每一个a,b, 定积分都有唯一确定的值与之对应,由此可以定义函数:这是一个定义在a,b上的函数,称为积分变上限函数。 注:中x是积分上限变量,在a,b上变化;t是积分变量,在a,x上变化。变上限积分函数求导定理:若 (x)在a,b上连续,则F(x)在a,b上一定可导,且有 注 1. F(x)也一定连续. 2. F(x)是
3、(x)在上的一个原函数. 3. 此定理也证明了连续的原函数一定存在.例:求牛顿-莱布尼兹公式:若 (x)在a,b上连续,(x)是 (x)的任意一个原函数,则有说明: 等于 (x)的任一个原函数在a,b上的增量例: 定积分的换元积分法与分部积分法第一类换元积分法(凑微分法):(不定积分)(定积分)例: 第二类还原积分:(不定积分)其中:具有连续的导数(定积分)其中:(1),(2)具有连续的导数,且与不定积分类似,常用:例:计算下列定积分: 换元积分法:(不定积分)(定积分)条件:在a,b上具有连续导数例:计算: 其他结论:一、设在上可积,则有:二、设是一个以为周期的可积函数,则有例: 函数在上有定义,且单调不增,证明:对于任何有.设函数在上连续可微,证明:设在区间上连续且单增,求证: