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1、第二章第三节 函数的单调性题组一函数单调性的鉴定1(福建高考)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2(0,+),当1x2时,均有f(x1)f(x)”的是 ( )A.f(x) f(x)(-)2C.f()=ex D()ln(x1)解析:对任意的x1,(0,),当f(x2),f(x)在(0,)上为减函数.答案:2.函数y=x2+bxc(0,+))是单调函数的充要条件是 ()Ab B.bCb0 0解析:函数xbx+在0,)上为单调函数x=0,即b0.答案:A3讨论函数f(x)=x(0)的单调性.解:f(x)x+(a0),定义域为|,且x0且f(-)=-x=()=(x).()为奇函数,因此先讨论f(
2、x)在(0,+)上的单调性设1x20,则(x1)-(2)1x2-(x1-x2)(1-),当0x21.则f(1)-f(x2),故(x)在(0,上是减函数.当1x时,恒有0,则f()-f(x2),故f()在,+)上是增函数.f(x)是奇函数,f(x)在(,,,+)上为增函数;(x)在-,0),(0,上为减函数.题组二函数的单调区间4.如果函数f(x)=x2+(a1)x+在区间(,4上是减函数,则实数的取值范畴是( )A,) B.(,-3C.(,5 D,+)解析:f()x2+2(a1)x2的对称轴为xa,()在(,上是减函数,要使f(x)在区间(,4上是减函数,则只需1a4,即.答案:5.函数y (
3、43-x2)的一种单调递增区间是 ( )(, B,+)(1,) D,4)解析:由t=4+3xx20得-1x0,则f(x)的定义域是_;()若f()在区间(0,1上是减函数,则实数的取值范畴是_解析:(1)当a0且a1时,由ax得x,即此时函数f(x)的定义域是(-,;(2)当a-1,即a1时,要使(x)在(0,1上是减函数,则需3-a10,此时1a.当-10,即a时,要使()在(0,1上是减函数,则需,此时a0.综上所述,所求实数a的取值范畴是(-,0)(1,3.答案:()(-, (2)(-,0)(1,题组三抽象函数的单调性及最值.已知f(x)是定义在(-,)上的偶函数,且在(-,0上是增函数
4、,设a=f(log4),bf(),f(020.6),则,b,c的大小关系是 ( )Ab bca Dab1,|3log231,0.20.60.20.6|.又(x)在(,上是增函数且为偶函数,(x)在,+)上是减函数.cab答案:C(四川高考)已知函数f()是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x均有x(+1)()f(x),则f()的值是 ( )A0 B.1 解析:令x=,f()f(-)f()(f()f(),f()令x=,f()f(),()0令x=,()f(),f()=0.答案:A9设奇函数(x)在 1,上是增函数,f()=-1.若函数f(x)t22at对所有的,1都成立,则当-1,时
5、,t的取值范畴是_.解析:若函数f(x)22对所有的,1都成立,由已知易得()的最大值是1,1t22t12att0,设g()2a-2(-11),欲使2att0恒成立,则t2或t0或t-.答案:-2或t=0或t2题组四函数单调性的综合应用10.(海口模拟)已知函数f(x)满足f(x)=f(x),且当x(,)时,(x)snx,则 ( )A.f(1)f(2)f() B.f()f()f(1)C.f(0)f(2)f() Df(0)0,f(x)在(-,)上递增,f(2)f(-2)012,f(0)f(1)()=f(2)答案:11.函数()2x的定义域为(0,1(为实数).()当a=-时,求函数y=()的值域
6、;(2)判断函数f()的单调性(不必证明);()若f()在(,1上恒成立,求a的取值范畴解:(1)显然函数f(x)的值域为2,).(2)当0时f(x)在(,1上为单调增函数.当a=0时,f(x)x在(0,1上为单调增函数当a0时,f()=2.当 1,即(,2时,yf()在(0,1上为单调减函数.当 1,即a(2,0)时,为y=f(x)的单调减区间,为f(x)的单调增区间(3)当x(0,1时()5在定义域上恒成立,即a2x25x在x(0,时恒成立设g()2x2-5,当x(0,1时(x)-,),只要a1时,f(x),f(4)=,()求证:f(1)=0;(2)求f();(3)解不等式f(x)f(-).解:(1)证明:令x4,y1,则f(4)=f(41)f(4)f(1).f()=0.()f(6)=f(44)f()f(4)=2,(1)f(1)()(16)=,故f()(3)设x1,20且x1x2,于是()0,f(x1)=f(x2)=f()+f(x)f(2)f(x)为x(,)上的增函数.又f(x)f(x-3)x()(4),3x4.原不等式的解集为xx4.