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1、1.4 常用的分布及其分位数1. 卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分 布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当X1、X2、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z= z x 2的i分布称为自由度等孑n的X2分布，记作Z X2(n),它的分布密度p=n z1 x2 e 2,n ( n 22r n2 )0,z 0其他,式中的rfn =j+3 u2 1e-udu , 称为 Gamma 函数,且 rG)=1, k 2 )0rf q= n o X 2分布是非对称分布，具有可加性，即当y与z k 2)、相互独立，且 Y X2(n), z X2(m),则 Y+Z x 2(n
2、+m)。诳明：先令X1、X2、 .、Xn、Xn+1、Xn+2、 .、Xn+m相互独 立且都服从N(0,1),再根据X 2分布的定义以及上述随机变量 的相互独立性，令Y=X2 +X2+X2 , Z=X2 +X2 +X2 , 12nn+1n+2n+mY+Z= X 2 +X 2 +X 2 + X 2 +X 2 +X 2 , 12n n+1 n+2n+m即可得到Y+Z X 2 (n+m)o2. t分布若X与Y相互独立，且XN(0.1), Y X 2 (n),则Z = X 乜 的分布称为自由度n等孑n的t分布，记作Z t (n)，它的分布密度P(z)=r( n+1)2项气)1+请注意：t分布的分布密度也
3、是偶函数，且当n30时，t 分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时, t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。3. F分布 若X与Y相互独立，且X x 2(n), Y x 2(m),则Z= 的分布称为第一自由度等孑n、第二自由度等孑m的F分布，记作ZF(n, m),它的分布密度p(z)= Jnmn 2 m 2 rk(m + nz) 20,z 0其他。请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当ZF (n,m)时，1 f (m ,n)o Z4. t分布与F分布的关系若 X t(n)，则 Y=X2 F(l,n)o.r证：Xt(n), X的分
4、布密度p(x)=jn n r -、k 2y=x 2 的分布函数 f (y) =pYy=pX 2 y。当 y 0 时，f y (y) =P- 气亍 x 尸=J p(x) d x =2 y p(x) d x,y=x2的分布密度p (y)=Y1 1 y 21+n(n + y) 2与第一自由度等孑1、第二自由度等孑n的F分布的分布密 度相同，因此Y=X2 F（1,n）o为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各 自的函数值表中查出。俚是，解应用问题时，通常是查分位 数表。有关分位数的概念如下：4.常用分布的分位数1）分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的 需要，有三不同
5、的称呼，即a分位数、上侧a分位数与双 侧a分位数，它们的定义如下：当随机变量X的分布函数为F（x）,实数a满足0 a1 时，a分位数是使px A=1- F（ X ）= a的数入，双侧a分位数是使P（X X 2=1 F（ X 2）=0.5 仁的数入 2。因为1 F（ X ）= a, F（ X ）=1 a,所以上侧a分位数X就 是1 a分位数x厂a ；0.5 a，1 0.5 aF（ X）=0.5 a, 1 F（ X 2片0.5 a,所以双侧a分位数,X就 是0.5 a分位数x 05a，双侧a分位数X 2就是1 0.5 a分 位数x2）标准正态分布的仁分位数记作ua , 0.5 a分位数记作u0.5
6、a，1 0.5 a分位数记作u1 0.5 a时，PX ua =F(Ua9=当 X N(0,1)0,10.5 aPXU 0.5 a= F01 (U0.5a)=0.5 a，PXU 1- 0.5 a= F01 (U 1- 0.5 a )=1- 0*5 a。根据标准正态分布密度曲线的对称性， 当 a =0.5 时，ua=0;当 a 0.5 时，ua0。ua=- u1_如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数, 则先查出u1_ a,然后得到ua=- u1- ao论述如下：当 XN(0,1)时，PX u a= f (u a)=a,PX u1- a=1- F0,1 (u1- a)=a，故根据标准正态
7、分布密度曲线的对称性，ua=- u 1- a1.282,例如，u =- u =- u =- u =- 1.645, u =- u =- 2.326,0.010.99U。；一 U 0.975 = 1.960，U。/- U 0.99广一 2.576。又因为plxi0,当 X X2（n）时，pxX2 a（n）= a。例如,X20.005（4）=0-21，X 2025（4）=048， X 2 0.05（4）=0-71，X 2 0.95（4）=9-49，X 2 0.975（4）=11-1，X 2 0995（4）=149。指导参考4）t分布的灯分位数记作ta （n）o当Xt （n）时，Px30时，在比较简
8、略的表中查不到ta（n）,可 用 ua 作为 ta （n）的近似o5 ) F分布的仁分位数记作Fa(n . m)oFa(n , m)0,当 XF (n . m)时，PXFa(n , m)= a。另外，当a较小时，在表中查不出Fa(n.m),须先查F1_(m, n),再求 Fa (n, m)=1 。论述如下：F_a (m，)当 X F(m, n)时，px1=1- a, P1 1= a,XF i_a (m ,n)XF _以(m ,n)又根据 F 分布的定义， F(n, m), p 1 f a (n, m) = a,XX因此 Fa(n, m)=1。F(m , n )1 以例如,F0.95(34)=6
9、.59 , F 0.975 4)98 ,F 0.99 (3,4)=16.7 , F0.95 (4,3)=9.12 ,F 0.975 (43)=15-1 , F 0.99 (4,3)=287 , 111百。./3,4 , 025(34)=,飞应膈片 机 28.715.19.12【课内练习】1. 求分位数 z 2 0.05(8),z 2 0.95(12)o学习资料整理2. 求分位数 t0.05（8）， t 0.95（12）。3. 求分位数F0.05（7,5），F0.95（1012）。4. 由u 0.975=1960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。5. 由t 0.95（4）=2.132写出有关的上
10、侧分位数与双侧分位数。6. 若X- * 2（4）, PX0.711=0.05 , PX9.49=0.95，试写 出有关的分位数。7. 若XF（5,3）, PX9.01=0.95 , YF（3.5）, Y1城。10i习题答案：1.2.73，21.0。2.一 1860，1.782。3.工，3.37。 4. 1.960为上侧0.025分位数,一 1.960与 4.881.960为双侧0.05分位数。5. 2.132为上侧0.05分位数,一 2.132 与2.132为双侧0.1分位数。6. 0.711为上侧0.95分位数，9.49为上 侧0.05分位数，0.711与19.49为双侧0.1分位数。7. 9.01为上侧0.05 分位数，5.41为上侧0.05分位数，工与 5.41为双侧0.1分位数，1 与9.01为双侧0.1分位数。8. 0.1 o
