一式解万-魔方数学公式

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1、一式解万-魔方数学公式.txt36母爱是一缕阳光，让你的心灵即便在寒冷的冬天也能感受到温暖如春；母爱是一泓清泉，让你的情感即使蒙上岁月的风尘仍然清澈澄净。 本文由88988a贡献 doc文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。 一式解万方 作者：邱志红 N 阶魔方的公式解 为了得出 N 阶魔方的公式解法，我花了很多心思( 还谈不上心血 )。我是学数学的，于是我就想方设法动用 了很多数学工具。为了公式的完美，我又对转动的描述法等作了多次修改。现在以飨读者。 首先还是说一下我的方法的优点吧。 1.它完全可以解 2 阶或以上的立方体魔方。当然不包含联体的魔方。

2、2.它不但可以解 N 解魔方的表层，还可以解魔方的内层，从而完全复原魔方。 3.中心块问题也在该方法的解决范围之内。还有相应的面块问题的解决。 4.操作可运算，能得到一个操作从不同方位的描述。方便了不同习惯的玩家。 5.简单易学，容易理解。操作简单有很强的规律性。 6.变化多样，有待进一步研究和开发。是学习和研究魔方的一手上好的资料。 7.当然最诱人的是，该方法只使用一个公式( 包括一些必要的变换等 )。 8.描述法及相关变换对长方体型的魔方也完全适用。 目录 一、坐标体系 二、右手法则 三、转动的描述 四、操作序列的运算 五、操作序列的运算的意义 六、旋转及旋转变换 1 七、相似及相似变换

3、八、至关重要的操作 九、魔方小块的分类 十、N 阶魔方的复原 坐标体系 N 阶魔方是一个空间的立方体，为了方便研究，我引入了数学里面的坐标系的概念。但不是直接引用常规的 笛卡儿直角坐标系。而是我因地制宜而建立的一套新的直角坐标体系。 它的起点分别在立方体的 6 个面的面心。6 个轴的方向都指向立方体的中心，然后终于各自对面的面心。如 下图：( 应该是终于各自对面的面心的，不容易画就没画，见谅 ) 图中的 6 个轴指的方向和一般 的笛卡儿直角坐标系是一致的。还是数学里面的方向指向。特别地一般的坐标系是三个坐标轴，每个又分别分为 正负两个半轴。这里的坐标系不同，是 6 个轴 ( 全轴非半轴 )。6

4、 个轴指的方向都是各自的正方向，没有负方 向。图中 -x 方向不能说是 x 的负方向，只能说是 -x 的正方向。以后说 -x 方向就是指的 -x 的正方向，不在 重复了。这样就有 6 个正方向了。 2 就这么多了。下面来介绍我关于转动的描述。 本节完。 这里插入一节，讲一讲右手法则：右手标架是指伸出右手的大拇指，食指和中指，三者是三垂直的，就象一 个坐标架一样。而且令三者分别指代 x,y,z 的正方向，则刚好与笛卡儿直角坐标系是一致的。所以右手标架可以 很容易的确定 x,y,z 三个正方向之间的关系，也很形象，便于记忆。如下图： 各位可以拿出右手来比划比划一下，很容易理解和记忆的。 右手螺旋法

5、则：右手四指握紧，大拇指朝上。然后大拇指指向某个正方向，那么四指弯曲的方向就是该正方 向对应的旋转的正方向。如图： 3 发现旋转的正方向就是平常所谓的逆时针方向。 这样很容易产生混淆。 建议： 为了学习我的方法就必须该掉习惯， 使用右手螺旋法则而不去使用顺逆时针的法则。 本节完。 三、转动的描述 垂直于 x 方向的有 n 个层。按照其方向，分别称之为 X1，X2，1,X3 Xn，。再看看 -x 方向。垂直于 -x 方向也有 n 个层。按照其方向。分别称之为 -X1，-X2，-X3 -Xn、可以发现同一个层有两种表示法、 这不是很奇怪的事情。就象 1 可以写为 1 或 -(-1) 一样，是可以理

6、解的。同一个层 Xa 和 -Xb 满足 a+b=n+1. 注意：它们两者的意义是不完全相同的，虽然表示的是同一个层。同理 y,-y,z,-z 方向也如此。 上段中的 n 与标题中的 N 的意义是一样的，一个方便讨论，一个是做标题的需要，更醒目些。所以不要误 解。后面对 n 与 N 是不加区分的。特此说明。 现在开始讲难理解的部分。有了上一节作铺垫，应该好理解一些了。如上图垂直于 x 方向的 n 个层，如果 按右手螺旋法则正方向旋转 n90 度则记为 Xan。 它是 4 周期的， 一般也只取 1,2,3 就可以了。 为了记录方便。 Xa1 就将上标 1 省去，简记为 Xa。 Xa2，不变。你要记

7、为 Xa-2 我也没办法。 Xa3 根据周期性记为 Xa-1，也是省去上标中的 1. 简记为 Xa-。 同样 -x 方向也是一样的。此时的正方向为 -x 方向，与上面的刚好相反，旋转的正方向也相反。如上图垂 直于 -x 方向的 n 个层，如果按右手螺旋法则正方向旋转 n 90 度则记为 -Xan。上标的处理同上。现在你就 会发现同一个层 Xa 和-Xb 满足 a+b=n+1. 它们两者的意义是不完全相同的。如果将它们理解为一个转动过程时 就可以看到这一点。如下图： 4 我是以面代层的。为了演示的方便，用 的是 y 与 -y 方向。发现两者都是描述某一个层的转动，但两者描述的旋转方向是相反的。原

8、因是因为两者转 轴的正方向是相反的。两者互为逆操作。于是某一个层转动就有两种描述。例如：Xap 可以描述为-Xn+1-a-p。 一般的 Uap=-Ubq。满足 a+b=n+1 且 p+q=4t. 其中 U X,Y,Z ，t Z. 多个转动操作就构成一个操作序列。如 X52-Z2-X1Y32。 一个转动有两种描述法，可能大家会觉得很烦琐，但后来会发现这样做是很有必要的，在处理很多问题的时 候显得很灵活。更重要的是可以使公式既简洁又系统，还方便了运算。 下面要讲的东西是前无古人的。就是操作序列的数学运算。也正我引用 X,Y,Z 系统来描述魔方转动的原因。 本节完。 大家用的方法都不一样，所以我也不

9、 好写具体步骤了。就假设作成第一个图中的状态用的是一系列操作 A 吧。这是习惯最后一层在底面完成的人的 做法 ( 各位很不幸，我就是这种习惯 ). 而所谓的大部分人都习惯最后一层在顶面完成。如果教的人 ( 我 ) 是 用的是左图中的习惯，教的是操作 A, 而你习惯右图中的习惯，该怎么办 ? 5 其实好办，用 A(-X) 就行了，步数是一样多，没有增加步数。再看 A 与 A(-X), 坐标系是转动的参照， 是铁定不会动的。而魔方整体也没动，两次都是红面心朝前，蓝面心朝右，黄面心朝上，一目了然。就是操作动 了，导致效果动了。操作 A 叉乘 -X, 就导致操作的效果以 -X 方向为轴轴逆转 90 度

10、。不是正转 90 度。这很 容易弄错(我有时候也被弄糊涂了), 要小心。好好理解一下这时候的对应关系吧。操作的效果是反对应的。 本节完。 四、操作序列的运算 这里有空间解析几何的知识：右手标架和外积。外积用“ 叉乘 ”：。内积用“点乘”：。这里只讲外积。两个 矢量 a,b.a b=c. c 矢量同时垂直 a,b. 且 a,b,c 构成右手系即按右手标架的顺序排列。与 b a=d 是不同的。 d 矢量同时垂直 a,b. 且 b,a,d 构成右手系即按右手标架的顺序排列 .d=-c. 所以外积是满足反交换的。即 a b =-b a. 外积是严格讲顺序的。 由于 X,Y,Z 构成右手系 ( 注意 :

11、X,Y,Z 的顺序不是随意的 .Y,X,Z 就不构成右手系 ), 那么自然有 XY=Z, 还可以轮换即 YZ=X,ZX=Y. 这里把 X,Y,Z 都默认为单位矢量，方便了运算。 按照外积的反交换律 ,Y X 等我就不多说了。而 X(-Z)=-XZ. 计算的时候可以不管前面的“ - ”。于是 X(-Z)=-XZ=-(-Y)=Y. 当然还有 X X=0,Y Y=0,Z Z=0. 这就是 X,Y,Z,-X,-Y,-Z 它们之间的“叉乘”关 系。 上面讲的是理论上的，还要兼顾实际。XX=0,YY=0,ZZ=0 在实际运用中就有问题，于是这里特别规定 U (U)=U.U X,Y,Z,-X,-Y,-Z。特

12、别注意：U 是含符号的。 上面讲的东西马上就可以应用到操作序列里面。如 X52-Z2-X1Y32 。 那么(X52-Z2-X1Y32)Y=Z52X2-Z1Y32。是另外的一个操作序列了。运算的时候上标和下标不参与，只是转 轴进行运算。可以多次运算，如 (X52-Z2- X1Y32)YX2。乘的时候严格按顺序来。前面式子中有X2。就是连 续叉乘两次，即XX. 还有叉乘三次的如Z3。其实算来和(-Z)是一样的。这里不证明了。后面由几何意义可 以直观明了地看出来。 下面就来看看其几何意义 ( 也比较难理解 ). 只看一次操作就可以了。如图-Yb 和-YbZ=-Xb 的关系。图中 没有画 Z 轴和 -

13、Z 轴。还是以面代层 .b 表示某个方向的第 b 层。 第一和第二图分别代表实际的转动，暂看不出什么。来看第三个图。其实和第二个图意思是一样的，只是方 位不同。再看一，三两个图的关系。发现可以看成是转动的位置没变，只是整个坐标系包括 Z 轴和 -Z 轴在内 以 Z 方向为轴正转 90 度。这就是 Z 的意义之所在。但实际操作时总还是将坐标系固定。你可能要说是魔方 在整体转动，其实魔方也没有动，可以假想为它在动而已。那什么东西动了呢 ? 是看不见的“操作”在动，是某 个方法在变化，是属于软件的范畴，所以看不见。看不见但照样可以认识它，通过它造成的影响来认识它。所谓 风吹草动，观草动而知风吹，说的

14、就是这个道理。 6 举一个实际的例 子可能大家理解得快一点。就说两个相邻的角块的原地自转 1/3 的问题。 特别声明：没有特别指出时，后面出现的配图及讨论都是相对魔方的原始态 ( 复原态 ) 而言的。 操作序列运算的意义 上面一节已经隐含地讲了一些意义了。操作序列的运算方便了不同习惯的玩家，使玩家能很容易地把他人的 方法转化为符合自己习惯的方法，而且转化方便易行。前提是转动的描述法都使用我提出的转动描述法。即我现 在提出的 X,Y,Z 描述系统。即使使用我以前提出的 X,Y,Z 描述系统也是不行的。 现在盛行的描述法用的是 L( 左 )R( 右 )B( 后 )F( 前 )D( 下 )U( 上

15、) 系统。它在三阶魔方转动的描述还 算差强人意。 一到三阶以上魔方的描述就不行了， 版本多而杂。 动用了坐标系而不用 XYZ, 简直就一 “四不象”。 对于中间的各层的转动描述更是乱而且烂，老是分情况描述，象搞特殊化一样。当然更不可能满足不同习惯的玩 家。居然还称之为 “ 魔方术语 ” 充内行。是不是觉得别的描述法都是旁门左道，不够专业，只有该方法才是正 统。 我的描述法的好处大家都有目共睹。 不搞特殊化 :2 n 阶都一样描述， 奇数阶和偶数阶也不用分开讨论 ; 转层从 1 n, 对于奇数阶的正中间层也不单独命名。可运算 :X,Y,Z,-X,-Y,-Z 不但起了区分的作用，而且内部 有巧妙的叉乘关系，实现了操作序列之间的运算。便于研究和学习。引用右手法则容易理解和判断，直观形象。 还是开发新方法的有力工具。 所以我认为魔方描述系统的改进势在必行。应该屏弃现行的 L( 左 )R( 右 )B( 后 )F( 前 )D( 下 )U( 上 ) 系统。改用我现在提出的 X,Y,Z 系统。 再举一个例子吧，还是讲 两个相邻的角块的原地自转 1/3 的问题。如图 ( 内外翻的问题 ). 7 老规矩，按我的习惯来。还是假设作 成左图中状态用的是一系列操作 A. 那么怎么由 A 得到右图所需的操作序列。当然 A -1 是可以的，但恐怕许 多人不习惯逆操作。还有别的方