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1、精选优质文档-倾情为你奉上2012年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）方程的一个根是ABCD2（5分）命题“，”的否定是A，B，C，D，3（5分）已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为 ABCD4（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为ABCD5（5分）设，且，若能被13整除，则A0B1C11D126（5分）设，是正数，且，则ABCD7（5分）定义在，上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”现有定义在，上的如下函数：；则其中是
2、“保等比数列函数”的的序号为ABCD8（5分）如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以，为直径作两个半圆在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是ABCD9（5分）函数在区间，上的零点个数为A4B5C6D710（5分）我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式人们还用过一些类似的近似公式根据判断，下列近似公式中最精确的一个是ABCD二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，
3、模棱两可均不得分11（5分）设的内角，所对的边分别是，若，则角 12（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 13（5分）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数如22，11，3443，94249等显然2位回文数有9个：11，22，99.3位回文数有90个：101，111，121，191，202，999则：（）4位回文数有 个；（）位回文数有 个14（5分）如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为，则：（）双曲线的离心率 ；（）菱形的面积与矩形的面积的比值 二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在
4、答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分）15（5分）如图，点在的弦上移动，连接，过点作的垂线交于点，则的最大值为 16（选修坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线为参数）相交于，来两点，则线段的中点的直角坐标为 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且，（1）求函数的最小正周期；（2）若的图象经过点，求函数在区间，上的取值范围18（12分）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8（1）求等差
5、数列的通项公式；（2）若，成等比数列，求数列的前项和19（12分）如图1，过动点作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将折起，使（如图2所示），（1）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；（2）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小20（12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：对工期的影响如下表：降水量工期延误天数02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：工期延误天数的均值与方差；（）在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率21（13分）设是单位圆上
6、的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（）过原点且斜率为的直线交曲线于、两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由22（14分）已知函数，其中为有理数，且求的最小值；试用的结果证明如下命题：设，为正有理数，若，则；请将中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题注：当为正有理数时，有求导公式2012年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5
7、分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）方程的一个根是ABCD【解答】解：方程中，故选：2（5分）命题“，”的否定是A，B，C，D，【解答】解：命题“，”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题， “，”的否定是，故选：3（5分）已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为 ABCD【解答】解：根据函数的图象可知二次函数图象过点，从而可知二次函数它与轴所围图形的面积为故选：4（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为ABCD【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：故选：5（5分）设
8、，且，若能被13整除，则A0B1C11D12【解答】解：由于含有因数52，故能被52整除要使得能能被13整除，且，则可得故选：6（5分）设，是正数，且，则ABCD【解答】解：由柯西不等式得，当且仅当时等号成立，等号成立故选：7（5分）定义在，上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”现有定义在，上的如下函数：；则其中是“保等比数列函数”的的序号为ABCD【解答】解：由等比数列性质知，故正确；，故不正确；，故正确；，故不正确；故选：8（5分）如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以，为直径作两个半圆在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是ABCD【解答】解：设
9、扇形的半径为，则扇形的面积为，连接，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：，此点取自阴影部分的概率是故选：9（5分）函数在区间，上的零点个数为A4B5C6D7【解答】解：令，可得或或，则，可取的值有0，1，2，3，4，方程共有6个解函数在区间，上的零点个数为6个故选：10（5分）我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式人们还用过一些类似的近似公式根据判断，下列近似公式中最精确的一个是ABCD【解答】解：由，解得设选
10、项中的常数为，则选项代入得；选项代入得；选项代入得；选项代入得由于的值最接近的真实值故选：二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11（5分）设的内角，所对的边分别是，若，则角【解答】解：由已知条件可得即由余弦定理得：又因为，所以故答案为：12（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果9【解答】解：循环前，第1次判断后循环，第2次判断并循环，第3次判断退出循环，输出故答案为：913（5分）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数如22，11，3443
11、，94249等显然2位回文数有9个：11，22，99.3位回文数有90个：101，111，121，191，202，999则：（）4位回文数有90个；（）位回文数有 个【解答】解：位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法；故4位回文数有个故答案为 90第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2、3、4、个数字，共有种选法，故位回文数有个故答案为14（5分）如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为，则：（）双曲线的离心率；（）菱形的面积与矩形
12、的面积的比值 【解答】解：由于以为直径的圆内切于菱形，因此点到直线的距离为，又由于虚轴两端点为，因此的长为，那么在中，由三角形的面积公式知，又由双曲线中存在关系联立可得出，根据解出（）设，很显然知道，因此在中求得，故；菱形的面积，再根据第一问中求得的值可以解出故答案为：，二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分）15（5分）如图，点在的弦上移动，连接，过点作的垂线交于点，则的最大值为2【解答】解：由题意可得为直角三角形，故有，故当半径最大且弦心距最小时，取得最大值故当为直径
13、、且为的中点时，取得最大值，为的一半，由于，故的最大值为2，故答案为216（选修坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线为参数）相交于，来两点，则线段的中点的直角坐标为【解答】解：射线的直角坐标方程为，曲线为参数）化为普通方程为，联立方程并消元可得，方程的两个根分别为1，4线段的中点的横坐标为2.5，纵坐标为2.5线段的中点的直角坐标为故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且，（1）求函数的最小正周期；（2）若的图象经过点，求函数在区间，上的取值范围【解答】解：（1）图象关于直线对称，又，时，函数的最小正周期为（2）由，故函数在区间，上的取值范围为，18（12分）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8（1）求等差数列的通项公式；（2）若，成等比数列，求数列的前项和【解答】解：设等差数列的公差为，则，由题意可得，解得或由等差数列的通项公式可得，或当时，
