《数列通项公式和前n项和求解方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列通项公式和前n项和求解方法（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数列通项公式的求法详解二、(关键是找出各项与项数n的关系.)16 .例1根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：(1 ) 9, 99, 999, 9999,-(2)1 _,2 , 3, 4，人34答案：(1) an =10n -1(2)n a2 n (3) a二、公式法公式法1 :特殊数列例2：已知数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的(q R且qz 1)的等比数列，若函数f (x)= 2 (x- 1),且 a1 = f (d-1), a3=f (d+1), b = f (q+1), b = f (q- 1),求数列 a和 b n的通项公 式。答案：an=a1+(n- 1)d =
2、2( n-1) ；b n=b qn_1=4 ( -2) -1例3.等差数列a 是递减数列，且a2 a3 a4=48, a2 a3 a4=12,则数列的通项公式是()(A) an =2n -12 (B) * = 2n 4 (C)an - Tn 12 (D) an - -2n 10答案：(d)例4.已知等比数列：an?的首项a1 = 1,公比0 : q : 1,设数列1bn的通项为bA an,-,2,求数列的通项公式.简析：由题意，bn4= an 2 an 3,又 是等比数列，公比为q如!bn anA+a=q,故数列bn f是等比数列，易得bn二q(q 1) qn 1 =qn(q 1).点评：当数
3、列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比 n =1公式法2：知sn利用公式Q SnnW 2例5：已知下列两数列an的前n项和sn的公式，求an的通项公式( 1) Sn二n3 n-1.(2) s. =n2-1答案：(1) an=3 n23 n+2 , (2) a =/(n点评：先分n=1和门八2两种情况，然后验证能否统一 n 、2n -1 (n 2)三、？累加法|【型如an* =an + f (n)的地退关系递推关系】简析：已知a1 =a, an4-an = f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an.若f(n)是关于
4、n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列 求和；若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；若f(n)是关于n的分式函数，累加后可 裂项求和各式相加得例5：已知数列6, 9, 14, 21, 30,求此数列的一个通项答案：an二n2 5 (n N)例6.若在数列、中，a1 =3 , an1=an2n，求通项a.答案：an=2n 111例7.已知数列an满足a/3 , an=an4 一 (n -2),求此数列的通项公式.答案：an = 2 - - n(n 1)n四、累积法【形如an 1 = f (n) an型(1)当f(n)为常数，即:
5、当f(n)为n的函数时，=q (其中q是不为0的常数) a n用累乘法.，此时数列为等比数列,c _ n J an =ai q 例&在数列 an 中，ai=1, (n+1)例9：已知数列a y中，a1. an j= n an，求an的表达式.1前n项和Sn与an的关系是Sn二n(2n- 1)an，试求通项公式an.1.思考题1：已知an【=nan n -1 -1,求数列礼的通项公式.答案：an(2n +1(2n _1)分析：原式化为an j 1二n(an 1),若令bn = an 1,则问题进一步转化为bn1 = nbn形式，累积得解五、构造特殊数列法 构造1 ：【形如an =can d, (
6、c = 0 ,其中a a)型(1)若c=1时，数列 an为等差数列； 若 d=0方法如下：设an二c(an川 ),得an彳=can(c -1) ，与题设 an d = cand,比较系数得-J心0)，所以：弘十一5心十冷，5-J构成以a1为首项，C 一 1以c为公比时，数列an为等比数列；(3)若c = 1且d = 0时，数列 an为线性递推数列，其通项可通过待定系数 法构 造等比数列来求.的等比数列.例10：已知数an的递推关系为an2an1，且印=1求通项an.答案：an=2n-1构造2:相邻项的差为特殊数列J I例11 :在数列Aan匚中，a1 =1 ,去=2 ,a2 - n31求an.
7、提示：变为3nan d(an 1%).构造3 :倒数为特殊数列【形如an二 四ran+s例12：已知数列 an中a1 =1且an 1nan+1N )，求数列的通项公式答案=1n六、待定系数法:ci=2, C2=4, C3=7, C4=12,求通项公例13:设数列5的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若 式Cn解析：设Cn =a (n - 1)d bqn4建立方程组，解得.点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列an为等差数列：则an = bn c, sn - bn2 cn ( b、c为常数)，若数列an为等比数列，则 an=Aqn, Sn=
8、Aqn-A (Aq=0,q=1).七、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多例14： (1)数列 an满足a1=0,且印飞2 *anA aA 2( n-1),求数列a 的通项公式解析：由题得a1 - a?八、J-anJ - an = 2(n -1)上n 2 时，a1 aA- anJ=2( n 2)上Qn=1由、得an=2222.(2)数列 an满足a.=1,且 QA a. s丸=，求数列叭的通项公式已知数列an中a“2,ani112a.,求通项a.八、【讨论法-了解】(1)若aan二d ( d为常数)，则数列a.为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2,其通项分为奇数项和偶数项来讨论.(2)形
9、如an.1n二f(n)型若an 1n二P(p为常数)，则数列 a为“等积数列”，它是个周期数列周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;若f(n)为n的函数(非常数)时,、等差数列求和公式:Snn(a a)n(a2a.)n(a3a./)=A =na12、等比数列求和公式:(q -1) 年曷 (q =1 -qi)例1 已知log3 x3log23-一，求X X2 xA xn 的前n项和.答案Snx(1 Xn)1 -x例2设S= 1+2+3+n,n N,求 f(n)21的最大值.答案n = 8时，f(n)max言(n +32)Sn +501、错位相减法方法简介：此法是在推导等比数列的前n项和公式时所
10、用的方法，项这种方法主要用于求数列a n bn的前n和，其中 an、 bn分别是等差数列和等比数列例 3求和：Sn 二 1 3x 5x2 7x3.(2n_ 1)xn(x = 1)n 1n 1解析：由题可知， (2 n- 1)x 的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列x_的通项之积：设 xSn = 1x 3x2 5x3 7x4 (2n - 1)xn 一得(1 -x)Sn =1 2x 2x2 2x3 2xA 2xn - (2n - 1)xn(错位相减)1-xnJ再利用等比数列的求和公式得：(1 -X)Sn =1 2X-(2n - 1)xn .1 -x可通过逐差法得ananj= f(n_1)，两式
11、相除后，分奇偶项来分求通项例15： 数列 an满足a1 =0, an 1an=2,求数列礼的通项公式公式法专题二：数列求和方法详解(六种方法)(2n - 1)xn (2n 1)xn (1 x)Sn (2nJ试一试1:求数列2,$，2,，李，前n项的和.2 2 2 2三、倒序相加法方法简介：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（aan），然后再除以2得解.例 4求 sin2l: sin22： sin23 sin288： sin289 的值.答案 s=四、分组法求和方法简介：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将
12、这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如何分组;例5求数列的前n项和:1 . 147,-A 3n - 2, a aan答案a - a 1-n(3n -1)n2-111 壬 1k个1999 一疝 9k个1求1 11 11A 11V .1之和简析：由于与n个1五、裂项法求和方法简介：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的1(10k _ 1) = an、分别求和.9裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解， 通项分解（裂项及分母有理化）如：an 二 f (n 1)
13、- f(n) ；(2) asinl cosn cos(n 1)-tan(n 1)tann(2n)21 1 1ann(n 1) n n 1 an(2n1)(2n 1 厂 1 2 = K*，的前n项和.例6求数列=, 产，-1 + V3 J2 + 丁 4 Un+Jn+2例7在数列an中，an，又 bn -，求数列 bn的前n项的和.anan 1试一试1：已知数列an： an8(n 1)(n 3)求前n项和.试一试2： 1 F2 1 -2 31 2100 -因此，在求数列的和时，S.六、合并法求和|方法简介：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质， 可将这些项放在一起先求和，然后再求答案0例 8求 cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 的值.例 9数列a n： a1 = L a2 = 3, a3 = 2,an 2 二 an 彳-an,求 S2002.(周期数列)例10在各项均为正数的等比数列中，若a5a6 = 9,求log3 a1 Tog3 a2 log3a10的值；答案10
