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1、【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第6篇 第4节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号二元一次不等式(组)表示的平面区域3、6、11线性目标函数的最值1、12非线性目标函数的最值5、8含参数的线性规划问题2、9、10、13线性规划的实际应用4、15线性规划综合运用7、14、16基础过关一、选择题1.(20xx高考天津卷)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最小值为(B)(A)2(B)3(C)4(D)5解析: 不等式组表示的可行域如图所示.由得A(1,1).由图知,当z=x+2y经过A(1,1)时,z有最小值为3.故选B.2
2、.(20xx吉林长春调研)实数x,y满足若实数z=x+y的最大值为4,则实数a的值为(A)(A)2(B)3(C)4(D)解析:由约束条件作出可行域为如图所示的阴影部分,当z=x+y过y=x和y=a的交点A(a,a)时,z取得最大值,即zmax=a+a=4,所以a=2.故选A.3.若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是(D)(A),+)(B)(0,1(C)1, (D)(0,1,+)解析:如图所示,直线x+y=0从原点向右移动,移动到(1,0)时,再往右移,不等式组所表示的平面区域就不能构成三角形了;又从点A向右移动时,不等式组所表示的平面区域为整个阴影部分的三角形.0a1或a.故
3、选D.4.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是(C)(A)1800元(B)2400元(C)2800元(D)3100元解析:设每天生产甲种产品x桶,乙种产品y桶,则根据题意得x、y的约束条件为设获利z元,则z=300x+400y.画出可行域如图.画直线l:300x+400y=0,即3x+4y=0.平移直线l,
4、从图中可知,当直线过点M时,目标函数取得最大值.由解得即M的坐标为(4,4),zmax=3004+4004=2800(元).故选C.5.若实数x、y满足则z=的取值范围为(B)(A)(-,-4,+)(B)(-,-2,+)(C)-2,(D)-4,解析: 作出不等式组对应的平面区域,如图.因为z=,所以z的几何意义是区域内过任意一点(x,y)与点P(1,-2)的直线的斜率.由题意知C(4,0),所以kPO=-2,kPC=,所以z=的取值范围为z或z-2,即(-,-2,+).故选B.二、填空题6.(20xx高考安徽卷)不等式组表示的平面区域的面积为.解析:画出可行域,如图所示,由得A(8,-2),所
5、以S=22+22=4.答案:47.若实数x,y满足则z=3x+2y的值域是.解析:令t=x+2y,则y=-x+,作出可行域,平移直线y=-x,由图象知当直线经过O点时,t最小,当经过点D(0,1)时,t最大,所以0t2,所以1z9,即z=3x+2y的值域是1,9.答案:1,98.(20xx山西大同重点中学联考)已知正实数m,n满足2m+2n4,则m2+n2的取值范围是.解析:作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示,令z=m2+n2,则z表示区域内的动点(m,n)到原点的距离的平方,由图可知z=m2+n2经过点D(4,0)时,z取最大值,此时z=16,而原点到直线m+2n=2的距离最短,
6、故zmin=()2=,又因为原不等式组所表示的平面区域不含边界,故m2+n2的取值范围为(,16).答案:(,16)9.若x,y满足条件当且仅当x=y=3时,z=ax+y取得最大值,则实数a的取值范围是.解析:直线3x-5y+6=0和直线2x+3y-15=0的斜率分别为k1=,k2=-.作出可行域如图所示,当且仅当直线z=ax+y经过点(3,3)时,z取得最大值,则直线z=ax+y的斜率-a满足-a,解得-a.答案:(-,)10.设变量x,y满足约束条件且不等式x+2y14恒成立,则实数a的取值范围是.解析:不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,显然a8,否则可行域无意义.由图可知x+2y在
7、点(6,a-6)处取得最大值2a-6,由2a-614得,a10.8a10.答案:8,10三、解答题11.已知D是以点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部).如图所示. (1)写出表示区域D的不等式组.(2)设点B(-1,-6),C(-3,2)在直线4x-3y-a=0的异侧,求a的取值范围.解:(1)直线AB,AC,BC的方程分别为7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0.原点(0,0)在区域D内,故表示区域D的不等式组为:(2)根据题意有4(-1)-3(-6)-a4(-3)-32-a0,即(14-a)(-18-a)0,解得-18a
8、0时,要使其取得最大值的最优解不唯一,需动直线y=ax+z与2x-y+2=0平行或重合,此时a=2;同理当a0时,需动直线y=ax+z与x+y-2=0平行或重合,此时a=-1,故选D.14.(20xx河北衡水中学期中)定义在R上的函数f(x)满足f(3)=1,f(-2)=3,f(x)为f(x)的导函数,已知y=f(x)的图象如图所示,且f(x)有且只有一个零点,若非负实数a,b满足f(2a+b)1,f(-a-2b)3,则的取值范围为(D) (A)(-,3,+)(B),+)(C)(-,3 (D),3解析:由y=f(x)的图象可知,当x(-,0)时,y=f(x)为减函数,当x(0,+)时,y=f(
9、x)为增函数,所以f(2a+b)1可转化为f(2a+b)f(3),即2a+b3,f(-a-2b)3可转化为f(-a-2b)f(-2),即-a-2b-2,a+2b2,因此实数a,b满足画出所表示的平面区域,如图阴影部分所示,而表示阴影区域内的任意一点(a,b)与点M(-1,-2)连线的斜率,由图可知()max=kMA=3,()min=kMB=,故的取值范围为,3.故选D.15.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克,乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克.已知每天原料的使用限额为奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克,甲种饮料每杯能获利润0.7元,乙种饮料每杯能获
10、利润1.2元,每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大?解:设每天配制甲种饮料x杯、乙种饮料y杯可以获得最大利润,利润总额为z元.由条件知:z=0.7x+1.2y,变量x、y满足作出不等式组所表示的可行域如图所示.作直线l:0.7x+1.2y=0,把直线l向右上方平移至经过A点的位置时,z=0.7x+1.2y取最大值.由方程组得A点坐标(200,240).即应每天配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯方可获利最大.探究创新16.(20xx辽宁沈阳质量监测)在满足不等式组的平面点集中随机取一点M(x0,y0),设事件A为“y02x0”,那么事件A发生的概率是(B)(A)(B)(C)(D)解析:不等式组表示的平面区域的面积为3-(-1)2=4,不等式组表示的平面区域的面积为32=3,因此所求的概率等于.故选B.
