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1、几何学的的发展简简史上海市第第十中学学 数数学教研研组 王沁课前设设计中国古代代是一个个在世界界上数学学领先的的国家，用近代代数学科科目来分分类的话话，可以以看出：无论是是算术、代数还还是几何何、三角角，中国国古代数数学在各各方面都都十分发发达。而而且在数数学理论论与实际际需要的的联系中中，创造造出了与与古希腊腊等欧洲洲国家风风格迥异异的实用用数学。可惜的是是，现行行的教材材对中国国古代数数学家的的成就介介绍得很很少。即即使教材材中有，但是也也基本上上出现在在阅读材材料中，几乎没没有老师师会去介介绍，当当然，学学生也很很少去看看。我本人接接触这些些数学历历史知识识也是拜拜赐学校校提供的的再学习
2、习机会。我校有有一个由由秦一岚岚校长总总负责、全校老老师共同同参与的的市级课课题：史史情教育育与各学学科校本本课程的的整合。如何在在数学学学科上整整合史情情教育，在数学学课中充充分挖掘掘数学学学科的民民族精神神内涵，弘扬中中华民族族精神和和上海城城市精神神，渗透透德育教教育，探探索出一一条符合合学生特特点的教教学方法法，通过过师生互互动，能能提高学学生团结结协作精精神，并并提高学学生的科科学素养养，是摆摆在我面面前的一一个重要要课题。为此，我做了了以下几几方面的的准备。第一步，确定课课题。高高二正在在上立体体几何，于是确确定上几几何学（偏重立立体几何何）的发发展简史史。第二步，收集资资料。主主
3、要是阅阅读大量量有关数数学史的的书籍。第三步，理清脉脉络。把把看到的的大量信信息进行行梳理，按照时时间顺序序、内容容与教材材内容的的相关程程度、在在几何史史上地位位的重要要性等方方面进行行选取。第四步，组织教教案。确确定前一一部分讲讲几何学学发展简简史，后后一部分分让学生生用学习习过的几几何知识识（主要要是立体体几何）来解决决一些实实际问题题。数学应用用能力是是基础数数学教育育的重要要组成部部分，同同时它也也是学生生比较薄薄弱的环环节。中中学里的的数学内内容多半半是纯粹粹的数学学基础知知识，而而现在国国家提倡倡数学素素质教育育,那么么提高数数学应用用能力是是其中重重要的一一环。为为了提高高同学
4、对对立体几几何的兴兴趣，提提高学生生应用立立体几何何知识解解决实际际问题的的能力，我选择择了四道道应用性性较强的的例题:平改坡坡问题,遮阳篷篷的角度度,飞机机高度测测量和蜂蜂巢表面面积最小小问题。鉴于学学生的实实际数学学水平与与能力，我没有有让学生生从数学学实际问问题出发发自行建建立数学学模型，而是在在帮助他他们建立立了数学学模型后后，指导导学生如如何看懂懂模型，如何联联系学习习过的数数学知识识解决数数学问题题。我希望通通过我的的课，能能让更多多的学生生了解数数学的历历史，了了解中国国数学的的历史，为我国国古代数数学家的的杰出贡贡献而自自豪。同同时让同同学看到到数学是是多么有有用的一一门学科科
5、，多么么有趣的的一门学学科，希希望无论论是数学学成绩好好还是数数学成绩绩不理想想的同学学都能对对数学永永远保持持一分兴兴趣。教案教学目标标：（1）让让学生大大致了解解几何学学（主要要是立体体几何）学在中中外的发发展简史史；（2）通通过使用用古代数数学家的的方法解解决问题题，让学学生亲身身体会中中国古代代科学家家的成就就；（3）通通过中外外数学家家的成就就比较中中外古代代研究数数学的思思想的不不同；（4）通通过学习习过的立立体几何何知识来来解决一一些实际际问题。教学重点点：割补补法应用用于解决决实际问问题。教学难点点：实际际问题向向数学模模型的转转化。教学过程程：前 言“九章章所蕴蕴含的思思想影
6、响响，必将将日益显显著，在在下一世世纪中凌凌驾于原本思想体体系之上上，不仅仅不无可可能，甚甚至说是是殆成定定局。”吴文俊俊 汇汇校九章章算术序序引入数学的的历史就就是“数”与“形”的发展展史。我我们的先先民在从从野蛮走走向文明明的漫长长历程中中，逐步步认识了了数与形形的概念念。“形”的意识识也许跟跟人类历历史一样样古老。例如：在中国国出土的的新石器器时代的的陶器大大多为圆圆形或其其他规则则形状，陶器上上有各种种几何图图案，通通常还有有三个着着地点，这些都都是几何何知识的的萌芽。古埃及在在齐阿普普斯王朝朝(公元元前29900年年左右)时代建建造起来来的金字字塔,其其塔基是是一个“标准”的正方方形
7、，各各边的误误差不超超过万分分之六。希腊人创创造了他他们自己己的文明明和文化化，对现现代西方方文化的的发展影影响最大大，对今今日数学学的奠基基起了决决定作用用。新课讲讲授一古希希腊几何何学古典时时期(公公元前6600年年到公元元前3000年)（1）泰泰勒斯（约前6640前5446年）将埃及及的实用用几何带带入希腊腊，开始始证明几几何命题题。（2）毕毕达哥拉拉斯（约约前5885前5000年）学派对对图形进进行广泛泛的研究究。开头头研究的的一类问问题叫面面积应用用问题。几何上有有三个著著名的作作图问题题：作一一正方形形使其与与给定的的圆面积积相等；给定正正方体一一边，求求作另一一正方体体之边，使后
8、者者体积两两倍于前前者体积积；用尺尺规三等等分任意意角。有有好些数数学结果果是为解解决这三三个问题题而得出出的副产产品。（3）希希波克拉拉底（前前5世纪纪下半叶叶）已研研究画圆圆为方及及立方倍倍积问题题。据说说最早把把间接证证明引用用到数学学里的是是他。他他所著的的几何书书叫几几何原本本，已已经失传传。（4）德德谟克利利特（约约前4660前3770年）发现棱棱锥和圆圆锥的体体积分别别等于同同底等高高的棱柱柱和圆柱柱体积的的三分之之一（但但是证明明是由欧欧道克斯斯作出的的）。他他的几何何著作很很可能是是欧几里里德几几何原本本问世世以前的的重要著著作。（5）亚亚里士多多德（约约前3884前3222
9、年）创造了了演绎逻逻辑，虽虽然他的的哲学对对数学的的直接影影响很少少，但对对古希腊腊的论证证几何等等数学的的发展起起到明显显的促进进作用。他给“定义”、“定理”、“公设”等以明明确的解解释。（6）欧欧几里德德（前3300年年左右生生活在亚亚历山大大城并在在该处授授徒）著著几何何原本，确立立几何学学的逻辑辑体系，成为世世界上最最早的公公理化数数学著作作。原原本共共十三篇篇，第一一篇到第第四篇讲讲直边形形和圆的的基本性性质；第第五篇讲讲比例论论；第六六篇讲相相似形；第七、八、九九篇是数数论；第第十篇是是不可公公度量的的分类；第十一一、十二二、十三三篇是立立体几何何及穷竭竭法。西方曾有有两本影影响最
10、广广的书，一本是是圣经经，另另一本就就是几几何原本本。原本是使用用时间最最长的数数学教科科书。原本实际上上是古希希腊古典典时期一一些个别别发现的的整理，是众多多学者智智慧的结结晶，欧欧几里德德对前人人的成果果加以整整理、归归纳、完完善和发发展，他他依然是是个大数数学家。虽然它它的内容容存在缺缺陷，而而且与现现代教学学趋势日日益不相相适应，但从历历史的角角度看，它确实实是一部部伟大的的著作，无愧于于“西方数数学的代代表作”的称号号。这个时期期的数学学仅仅是是定性的的。那个个时期的的知识分分子只限限于搞哲哲学和科科学工作作，不去去搞商业业和贸易易；有教教养的人人不关心心实际问问题。他他们就这这样把
11、数数学思维维和实际际需要割割裂开来来，而且且数学家家也没有有感到有有去改进进算术方方法和代代数方法法的压力力。只有有当有文文化的阶阶级与奴奴隶阶级级之间的的壁垒在在亚历山山大时期期被冲破破而且有有教养的的人关心心实际事事务的时时候，重重点才转转移到数数量知识识以及发发展算术术和代数数方面。亚历山山大时期期(前3300年年到公元元6000年)阿基米德德（前2287前2112年）利用穷穷竭法求求出球的的表面积积和体积积公式,研究抛抛物弓形形面积,给出的范围围,它的的几何著著作是希希腊数学学的顶峰峰。大约从公公元1世世纪初起起,亚历历山大的的数学工工作特别别是几何何工作开开始衰落落.而此此时在东东方
12、的中中国数学学正蓬勃勃发展。二、中国国古代几几何学中国的几几何有悠悠久的历历史，可可靠的记记录从公公元前十十五世纪纪谈起，甲骨文文内已有有“规”和“矩”两个字字,规是是用来画画圆的,矩是用用来画方方的.春秋时期期，随着着铁器的的出现，生产力力的提高高，中国国开始了了由奴隶隶制向封封建制的的过渡，新的生生产关系系促进了了科学技技术的发发展与进进步。战战国时期期人们通通过田地地及国土土面积的的测量，城池的的修建，水利工工程的设设计等生生产生活活实践，积累了了大量的的数学知知识。（1）但但是秦朝朝的焚书书坑儒给给中国文文化事业业造成空空前的浩浩劫，西西汉作为为数学新新发展及及先秦典典籍的抢抢救工作作
13、的结晶晶，便是是九章章算术的成书书。它对对于中国国和东方方数学，大体相相当于几何原原本对对于希腊腊和欧洲洲数学。中国古古代的几几何一般般不讨论论图形离离开数量量关系的的性质，而要计计算出长长度、面面积、体体积。在在九章章算术的方田田章中有有各种多多边形、圆、弓弓形等的的面积公公式；商商功章讨讨论了各各种立体体的体积积公式。九章算算术后后，中国国的数学学著述基基本采用用两种方方式：一一是为九章算算术做做注；二二是以九章算算术为为楷模编编纂新的的著作。经过两两汉社会会经济和和科学技技术的大大发展，到魏晋晋时期，思想文文化领域域中儒家家的统治治地位被被削弱，代之以以谈三玄玄周周易、老子子、庄子为主的
14、的辩难之之风。与与此相适适应，数数学家重重视理论论研究，力图把把自先秦秦到两汉汉积累起起来的数数学知识识建立在在必然可可靠的基基础之上上。（2）刘刘徽和他他的九九章算术术注便便是魏晋晋时代造造就的最最伟大的的数学家家和最杰杰出的数数学著作作。该书前九九卷全面面论证了了九章章算术的公式式、解法法，发展展了出入入相补原原理、截截面积原原理、齐齐同原理理和率的的概念，在圆面面积公式式和锥体体体积公公式的证证明中引引入了无无穷小分分割和极极限思想想，首创创了求圆圆周率的的正确方方法，指指出并纠纠正了九章的某些些不正确确的或错错误的公公式，探探索出解解决球体体积的正正确途径径。以多面体体体积的的算法为为
15、例，在在实际中中使用了了长方体体的体积积公式：V=aabh。堑堵是将将长方体体沿相对对两棱剖剖开所得得的几何何体，其其体积显显然是VV=abbh/22；沿堑堑堵的一一顶点与与相对的的棱剖开开，一部部分是四四棱锥，称为阳阳马，其其体积为为V=aabh/3，另另一部分分为四面面都是直直角三角角形的三三棱锥，叫鳖臑臑，其体体积V=abhh/6。刘徽用用无穷小小分割的的方法证证明了上上述公式式。在平面几几何中用用直角三三角形或或正方形形 在立立体几何何中用锥锥体和长长方体进进行移补补,这构构成了中中国古代代几何的的特点.刘徽未能能解决球球体积公公式的证证明，但但他创造造性地给给出了他他的“牟合方方盖”，但是是他未能能证明，在书中中他也坦坦诚直言言，表示示“以俟能能言者”。2000多年年后出了了一位“能言者者”，那就就是祖暅暅之。（3）缀术包含了了祖冲之之（42295000年）和和儿子祖祖暅之（一作祖祖暅，生生平不详详）的数数学贡献献。祖暅暅沿用刘刘徽的“牟合方方盖”，证明明了球体体体积的的计算问问题，充充分显示示
