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1、弹性力学试题参考答案（答题时间：100分钟）、填空题（每小题4分）1 最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程，应力边界条件。2 一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程，相容方程（变形协调条件）。3 .等截面直杆扭转问题中，2 dxdy M的物理意义是杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。4平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数在边界上值的物理意义为边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩。5 弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：1j,j Xi 0, j 2（ui，j Uji）。、简述题（每小题6分）1 试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
2、圣维南原理：如果物体的 一小部分边界 上的面力变换为分布不同但 静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力 分布将有 显著的改变，但远处的应力 所受影响可以忽略不计作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。#题二（2）图(a)(x, y) ax2 bxy cy2(r, ) r2f()(b)(x, y) ax3 bx2y cxy2(r, ) r3f()dy3P,板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E、泊松E(1 )q 得,)设板在力P作用下的面积改变为将I代入得：显然， S与板的形状无关，仅与题二(3)图设当各边界
3、受均布压力q时，两力作用点的相对位移为I。由；27222 q . a blab(1ES，由功的互等定理有：q S P I1i 22SPa2 b2EE、丨有关。4图示曲杆，在rb边界上作用有均布拉应力q,在自由端作用有水平集中力P。试写出其边界条件(除固定端外)22#题二(4 )图Galerkin )位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思5 .试简述拉甫(1)rr bq,rr0 ；b，(2)0,0r arabb(3)drPcosr dr Psinaa rbrdrPcosa ba2Love)位移函数法、伽辽金(想，并指出各自的适用性Love、Galerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想
4、：(1) 变求多个位移函数u(x, y), v(x, y), w(x, y)或ur(r, ), u (r,)为求一些特殊函数，如调和函 数、重调和函数。(2) 变求多个函数为求单个函数(特殊函数)。适用性：Love位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；Galerkin位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。二、计算题图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为 P,设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为Asin 2d很小,Pd，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。将应力函数(r,）代入，可求得应力分量:22 A
5、sin 2 ；r(2Acos2B)边界条件:(1)代入应力分量式，t（2Ar0,B)2A0,(1)（2）取一半径为的半圆为脱离体,边界上受有:，和 M = Pd由该脱离体的平衡,将r代入并积分,(2Acos2B)r2dAsin 2(2)联立式（1）、（ 2）求得:Pd代入应力分量式，得2Pd sin22Pd sin2r2;0 ； r2。rr结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。由材料力学公式给出，试由平衡微分方程2 图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力求出xy, y ,并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。(12 分)解：
6、（1）求横截面上正应力任意截面的弯矩为 M题三（2 ）图xq-X3，截面惯性矩为I?2，由材料力学计算公式有xMyT2q3xy（2）由平衡微分方程求xy、yxxyX0平衡微分方程：xyyxyY0xy其中，X 0,Y0。将式（1）代入式（2）,有(1)xyy6qoxy3qolh3fi(x)lh3积分上式，得利用边界条件：xy h 0，有y 2理 X2h24lh3f,x) 0 即h(x)宴x2h4lh3将式（4）代入式(3),有gy2lh38h)积分得6q0利用边界条件:得:h3243冀x(lh31h lh3 X(24 8 h1匕38h)3)由第二式，得f2（X）q。X2l将其代入第一式，得2l
7、X将f2b）代入 y的表达式,所求应力分量的结果:MyIq0xy校核梁端部的边界条件：（1）梁左端的边界（X = 0）：3qo2 z 2(y3qxy眉2/ 2(y6qlh34h2)(4)x(翌 1h234q。TX，f2 (X)f2 (X)y)f2（X）自然成立。h2y) x34 y 2l(5)?2)1 h2y)4 y 2l#h2h x2xdy o,h2xody 0代入后可见：自然满足。（2）梁右端的边界（xh2h2idyxh xy222 3qx , 2 h2dylh2h2xy|dydyiqlh2h2ydyh2h22qx3lh3dy2qol33-3lhqol2可见，所有边界条件均满足。检验应力分
8、量是否满足应力相容方程:常体力下的应力相容方程为2( xy)y)将应力分量x , xy , y 式(6)代入应力相容方程,显然，应力分量2(y)1230xy，lh2y)(2xy)畀xylh3y)xy 0x, xy ,y不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。3. 一端固定，另一端弹性支承的梁,其跨度为I,抗弯刚度EI为常数,梁端支承弹簧的刚度系数为k。梁受有均匀分布载荷 q作用，如图所示。试:（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数w（x）；（2）用最小势能原理或 Ritz法求其多项式形式的挠度近似解（取1项待定系数）（13 分）题二（3 ）图解：两种形式的梁挠度试
9、函数可取为2 2w(x) x (A1 A2x A3x多项式函数形式此时有:w(x)w (x)w(x)w (x)nw(x)X2(Ai2x(AinAm(1m 1Am(112m x、 cos )三角函数形式A2xA2xA3X2A3X22m x、 cos)lx0 0)x2(A2AsXnmiAm 2mI 2m x sin即满足梁的端部边界条件。梁的总势能为lEI0d 2wdx2dx0qw(x)dx取：w( x) A-iX2，有d 2w dx22w(l) Al代入总势能计算式，有I20EI(2A)2dxl 212 2qx2Adx ?k(Ail2)22EllA；qAi ,3il3 丄 kA2l432由n 0
10、，有4EIIAikA4 即 0ql33(4EII kl4)代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为w(x)ql323(4EIl kl4)X4.已知受力物体内某一点的应力分量为:0, y 2MPa , z 1MPa , Xy1MPa, yz 0 ,zx2MPa试求经过该点的平面 x 3y z 1上的正应力（12 分）解：由平面方程x 3y z1,得其法线方向单位矢量的方向余弦为13，m 11，.,1232123n11.11，n 厂3厂12111“110 1 2,11 13 11202 0 11I 295 73 32.64 MPaII 111弹性力学课程考试试卷学号：姓名：工程领域： 建筑与土木工
11、程题号一一一-二四五总分得分考试时间：120分钟考试方式：开卷任课教师：杨静日期：2007年4月28日、简述题（40分）1. 试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征，并指出两类平面问题中弹性常 数间的转换关系。2. 弹性力学问题按应力和位移求解，分别应满足什么方程？3. 写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和边界条件？4. 写出弹性力学按应力求解空间问题的相容方程。5. 求解弹性力学问题时，为什么需要利用圣维南原理？6. 试叙述位移变分方程和最小势能原理，并指出他们与弹性力学基本方程的等价性？7. 试判断下列应变场是否为可能的应变场？（需写出判断过程）x C（x2 y2）， y Cy2， xy 2Cxy。8. 试写出应力边界条件：
