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1、小学数学知识总结之比和比例应用题【求比的问题】例1两个同样容器中各装满盐水。第一个容器中盐与水的比是 2 : 3,第二个容器中 盐与水的比是3 : 4,把这两个容器中的盐水混合起来，则混合溶液中盐与水的比是 （无锡市小学数学竞赛试题）讲析：第一个容器中，盐占整个溶液的壬，水占整个溶液的弓 第二个容器中，盐占整个溶液的#,水占整个溶液的扌。则混合溶液中，盐与水的比是：弓卡亍）：弓=29： 41。例2赢利百分数=卖出农器入价X 100%某电子产品去年按定价的80%出售，能获利20%，由于今年买入价降低，按同样定价的75%岀售，却能获利药妝 那么，囂直篇 二*（1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题
2、）讲析：设去年买入价为已元，卖出价为b元，mbXSO%a = 2o.即:-X80% =1 + 20%。25%t 即人75% = 1 + 2%C所以,ak(rX80%)+( X 方)=(1 + 20%)斗(1+25)0Cc又设今年买入价为&冗，卖出价同祥为b元，则有:即厂10也就是人今年买入价 9 去年买入价二诃【比例问题】例1甲、乙两包糖的重量比是4： 1,如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两 包糖的重量比变为7 : 5那么两包糖重量的总和是 。（1989年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：把甲乙两包糖的总重量作为单位X J则甲包占全部重量的*7当从甲包中取10克放入乙包后，甲包占全部重
3、量的右q472.所以，两包糖重量和是10 * （ _） =46克）例2甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯 酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。这 样甲容器中纯酒精含量为62.5 %，乙容器中纯酒精含量为25%，那么，第二次从乙容器 倒入甲容器的混合液是升。（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：因为现在乙容器中纯酒精含量为 25%，所以，乙容器中酒精与水的比为25%：（1-25 %） =1 : 3第一次从甲容器中倒5升纯酒精到乙容器，才使得乙容器中纯酒精与水的比恰好是5 : 15=1 : 3又甲容器中纯酒精含量为
4、62.5 %，则甲容器中酒精与水的比为62.5 %： （1-62.5 %）=5 : 3第二次倒后，要使甲容器中纯酒精与水的比为5 : 3,不妨把从甲容器中倒入乙容器的混合液中纯酒精作1份，水作3份。那么甲容器中剩下的纯酒精便是 11-5=6 （升）6升算作4份，这样可恰好配成5 : 3而第二次从乙容器倒入甲容器的混合液共为 13=4（份），所以也应是 6 升. 比的意义和性质（1）比的意义两个数相除又叫做两个数的比。 “：”是比号，读作“比” 。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。 比的前项除以后项所得的商，叫做比值。同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于
5、商。 比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。 比的后项不能是零。 根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值（2）比的性质比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（ 0 除外），比值不变，这叫做比的基本性质。（3）求比值和化简比求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分 数。根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项 是互质的数。（4）比例尺图上距离：实际距离 =比例尺要求会求比例尺； 已知图上距离和比例尺求实际距离； 已知实际距离和比例尺求图上距离。 线段比例尺：在
6、图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。（5）按比例分配 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法 通常叫做按比例分配。方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。2 比例的意义和性质（1）比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。（2）比例的性质 在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。（3）解比例根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未 知项。求比例中的未知项，叫做解比例
7、。3 正比例和反比例（1） 成正比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比 值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示 y/x=k（ 一定） （2）成反比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系 用字母表示x x y=k（ 定）二正反比例问题【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的 两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正 比
8、例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的 积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例 的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转 化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比 例的性质去解应用题。例1修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公 路总长是多少米？例2张晗做4道应用题用
9、了 28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题? 关键：做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系例3孙亮看十万个为什么这本书，每天看 24页，15天看完，如果每天看36页，几天 就可以看完？三按比例分配问题【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一 般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。 总份数二比的前后项之和【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求 出总份数，再求各部分占总量的几分之几
10、（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按 照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。例1学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？例2用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3 : 4 : 5。三条边的长各是多少厘米？例3从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。例4某工厂第一、二、三车间人数之比为 8 ： 12 ： 21,第一车间比第二车间少80人，三个 车间
11、共多少人？四 列方程例1 甲乙两班共 90人，甲班比乙班人数的 2倍少30人，求两班各有多少人？例 2 仓库里有化肥 940 袋，两辆汽车 4 次可以运完，已知甲汽车每次运 125 袋，乙汽车每 次运多少袋？智趣题学校买了 4 张办公桌和 1把椅子，共用去 510元，后又买来 6 张办公桌和 1把椅子共用去 750 元。求每张办公桌和每把椅子各多少元？ 作业1一台拖拉机第一天上午 3 小时平均每小时耕地 7.8 公亩，下午 4 小时平均每小时耕地 8.1 公 亩，第二天用了 5 小时耕地 38.4 公亩，正好完成任务。这台拖拉机平均每天耕地多少公亩 ?2王、张两人各带同样多的钱去商店买花布，同
12、种的花布小王买了9米，小张买了 6 米。王向张借了 12 元，两人的钱刚好用完。这种花布每米多少元 ?比的应用练习题1、两个相同的瓶子都装满了酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积比是3 ：1，另一个瓶中酒精与水的体积比是 4 ： 1。如果把这两个瓶中酒精溶液混合，混合溶液中酒精和水的比是 （ ）。2、五角人民币与 贰角人民币的张数比为 12 ：35，那么伍角与贰角的总钱数比为 （ ）。3、甲、乙、丙三个数的平均数是 60。甲、乙、丙三个数的比是 3 ：2 ：1。甲、乙、丙三个数 各是多少？4、一个直角三角形的两个锐角度数的比是 2 ：1，这两个锐角分别是多少度？5、大、小两瓶油共重 2.7 千克，
13、大瓶的油用去 0.2 千克后，剩下的油与小瓶内油的重量比是 3 ： 2。求大、小瓶里各装油多少千克？6、甲、乙、丙三位同学共有图书 108本，乙比甲多 18 本，乙与丙的图书数之比是 5 ：4，求甲、 乙、丙三人各有图书多少本？7、一个直角三角形的三条边总和是 60厘米，已知三条边的比是 3 ：4 ：5. 这个直角三角形的 面积是多少平方厘米？8、一个直角三角形的周长为 36 厘米，三条边的长度比是 3 ：4 ：5，这个三角形的面积是多少 平方厘米？9、 一瓶盐水，盐和水的重量比是1 : 24,如果再放入75克水，这时盐与水的重量比是1 : 27, 原来瓶内盐水重多少千克？10、盒子里有三种颜
14、色的球，黄球个数与红球个数的比是2 : 3,红球个数与白球个数的比是 4 : 5。已知三种颜色的球共175个，红球有多少个？ 11、王老师用100元去买了 20支圆珠笔和10支钢笔，每支钢笔的价钱和每支圆珠笔的价钱的 比是3 : 1。问买圆珠笔和钢笔各花了多少元？ 12、甲、乙两包糖果的重量的比是 4:1,如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖果 重量的比变为7 : 5。那么两包糖果重量的总和是多少？13、某小学男、女生人数之比是16 : 13,后来有几位女生转学到这所学校，男、女生人数之比 变成为6 : 5,这时全体学生共有880人，问转学来的女生有多少人？14、小明读一本书，已读的和
15、末读的页数比是 之比为3 : 5。这本书共有多少页？1 : 5。如果再读30页，则已读的和末读的页数15、运输队要运一批货物，已经运走的和剩下的比是 1 : 4。如果再运走4吨，那么运走的和剩 下的比为3 : 7。这批货物共多少吨？ 16、甲、乙、丙三人的彩球数的比例为 9: 4: 2,甲给了丙30个彩球，乙也给了丙一些彩球, 比例变为2:1:1。乙给了丙多少个彩球？溶液问题一碗糖水中有多少糖，这就要用百分比浓度来衡量放多少水和放多少糖能配成某一浓度的 糖水，这就是配比问题在考虑浓度和配比时，百分数的计算扮演了重要的角色，并产生形形色 色的计算问题，这是小学数学应用题中的一个重要内容 从一些基本问题开始讨论.例15基本问题一（1） 浓度为10%，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8%的糖水？（2）浓度为20%的糖水40克，要把它变成浓度为40%的糖水，需加多少克糖？解：（1）浓度 10%，含糖 80 X 10%= 8 （克），有水 80-8 = 72 （克）.如果要变成浓度为8%,含糖8克，糖和水的总重量是8-8%= 100 （克），其中有水
