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1、-数学必修4平面向量综合练习题一、选择题 【共12道小题】1、以下说法中正确的选项是( ) A.两个单位向量的数量积为1 B.假设ab=ac且a0,则b=cC. D.假设bc,则(a+c)b=ab参考答案与解析:解析:A中两向量的夹角不确定;B中假设ab,ac,b与c反方向则不成立;C中应为;D中bcbc=0,所以(a+c)b=ab+cb=ab. 答案:D主要考察知识点:向量、向量的运算2、设e是单位向量,=2e,=-2e,|=2,则四边形ABCD是( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.形参考答案与解析:解析:,所以|=|,且ABCD,所以四边形ABCD是平行四边形.又因为|=|=2,所以
2、四边形ABCD是菱形. 答案:B主要考察知识点:向量、向量的运算3、|a|=|b|=1,a与b的夹角为90,且c=2a+3b,d=ka-4b,假设cd,则实数k的值为( ) A.6 B.-6 C.3 D.-3参考答案与解析:解析:cd,cd=(2a+3b)(ka-4b)=0,即2k-12=0,k=6. 答案:A主要考察知识点:向量、向量的运算4、设02,两个向量=(cos,sin),=(2+sin,2-cos),则向量长度的最大值是( ) A. B. C. D.参考答案与解析:解析:=(2+sin-cos,2-cos-sin), 所以|=.答案:C主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示5、设
3、向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),假设表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6)参考答案与解析:解析:依题意,4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以d=-6a+4b-4c=(-2,-6). 答案:D主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示6、向量a=(3,4),b=(-3,1),a与b的夹角为,则tan等于( ) A. B.- C.3 D.-3参考答案与解析:解析:由得ab=3(-3)+41=-5,|a|=5,|b|=, 所以cos=.由于0,
4、,所以sin=.所以tan=-3.答案:D主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示7、向量a与b不共线,=a+kb,=la+b(k、lR),且与共线,则k、l应满足( ) A.k+l=0 B.k-l=0 C.kl+1=0 D.kl-1=0参考答案与解析:解析:因为与共线,所以设=(R),即la+b=(a+kb)=a+kb,所以(l-)a+(1-k)b=0. 因为a与b不共线,所以l-=0且1-k=0,消去得1-lk=0,即kl-1=0.答案:D主要考察知识点:向量、向量的运算8、平面三点A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且AP=PB,则的值为( ) A.3 B.2 C. D.参考答案
5、与解析:解析:因为=,所以(4,4)=(2,2).所以=. 答案:C主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示9、设平面向量a1,a2,a3的和a1+a2+a3=0,如果平面向量b1,b2,b3满足|bi|=2|ai|,且ai顺时针旋转30后与bi同向,其中i=1,2,3,则( ) A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0C.b1+b2-b3=0 D.b1+b2+b3=0参考答案与解析:解析:根据题意,由向量的物理意义,共点的向量模伸长为原来的2倍,三个向量都顺时针旋转30后合力为原来的2倍,原来的合力为零,所以由a1+a2+a3=0,可得b1+b2+b3=0. 答案:D主要考察知识
6、点:向量、向量的运算10、设过点P(*,y)的直线分别与*轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,假设,且=1,则P点的轨迹方程是( ) A.3*2+y2=1(*0,y0) B.3*2y2=1(*0,y0)C.*2-3y2=1(*0,y0) D.*2+3y2=1(*0,y0)参考答案与解析:解析:设P(*,y),则Q(-*,y).设A(*A),*A,B(0,yByB0,=(*,y-yB)=(*A*,-y). =2PA,*=2(*A,*),y-yB=2y,*A=*,yB=3y(*0,y0).又=1,(-*,y)(-*A,yB)=1,(-*,y)(*,3y)=
7、1,即*2+3y2=1(*0,y0).答案:D主要考察知识点:向量、向量的运算11、ABC中,点D在BC边上,且,假设,则r+s的值是( ) A. B.0 C. D.-3参考答案与解析:解析:ABC中,=()=-,故r+s=0. 答案:B主要考察知识点:向量、向量的运算12、定义ab=|a|b|sin,是向量a和b的夹角,|a|、|b|分别为a、b的模,点A(-3,2)、B(2,3),O是坐标原点,则等于( ) A.-2 B.0 C.6.5 D.13参考答案与解析:解析:由题意可知=(-3,2),=(2,3), 计算得=-32+23=0,另一方面=|cos,cos=0,又(0,),从而sin=
8、1,=|sin=13.答案:D主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示二、填空题 【共4道小题】1、a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7,则向量a与b的夹角是_.参考答案与解析:解析:由得a+b=-c,两边平方得a2+2ab+b2=c2,所以2ab=72-32-52=15.设a与b的夹角为,则cos=, 所以=60.答案:60主要考察知识点:向量、向量的运算2、假设=2e1+e2,=e1-3e2,=5e1+e2,且B、C、D三点共线,则实数=_. 参考答案与解析:解析:由可得=(e1-3e2)-(2e1+e2)=-e1-4e2, =(5e1+e2)-(e1-3e2)=4e1+(
9、+3)e2.由于B、C、D三点共线,所以存在实数m使得,即-e1-4e2=m4e1+(+3)e2.所以-1=4m且-4=m(+3),消去m得=13.答案:13主要考察知识点:向量、向量的运算3、e1、e2是夹角为60的两个单位向量,则a=2e1+e2和b=2e2-3e1的夹角是_. 参考答案与解析:解析:运用夹角公式cos=,代入数据即可得到结果. 答案:120主要考察知识点:向量、向量的运算4、如图2-1所示,两射线OA与OB交于O,则以下选项中向量的终点落在阴影区域的是_. 图2-1 + + -参考答案与解析:解析:由向量减法法则可知不符合条件,显然满足,不满足. 答案:主要考察知识点:向
10、量、向量的运算三、解答题 【共6道小题】1、如图2-2所示,在ABC中,=c,=a,=b,且ab=bc=ca,试判断ABC的形状.图2-2参考答案与解析:解:ab=bc,b(a-c)=0. 又b=-(a+c),-(a+c)(a-c)=0,即c2-a2=0.|c|=|a|.同理,|b|=|a|,故|a|=|b|=|c|,所以ABC为等边三角形.主要考察知识点:向量、向量的运算2、如图2-3所示,|=|=1,、的夹角为120,与的夹角为45,|=5,用,表示.(注:cos75=) 图2-3参考答案与解析:解:设=+, 则=(+)=+=+cos120=.又=|cos45=5cos45=,=,=(+)
11、=+=cos120+=+.又=|cos(120-45)=5cos75=,+=.=,=.=+.主要考察知识点:向量、向量的运算3、在四边形ABCD中(A、B、C、D顺时针排列),=(6,1),=(-2,-3).假设有,又有,求的坐标. 参考答案与解析:解:设=(*,y),则=(6+*,1+y),=(4+*,y-2),=(-*-4,2-y),=(*-2,y-3). 又及,所以*(2-y)-(-*-4)y=0, (6+*)(*-2)+(1+y)(y-3)=0. 解得或=(-6,3)或(2,-1).主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示4、平面向量a=(,-1),b=(,). (1)证明ab;(2)
12、假设存在不同时为零的实数k、t,使得*=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且*y,求函数关系式k=f(t).参考答案与解析:(1)证明:因为ab=(,-1)(,)=+(-1)=0,所以ab. (2)解:由得|a|=2,|b|=1,由于*y,所以*y=0,即a+(t2-3)b(-ka+tb)=0.所以-ka2+tab-k(t2-3)ba+t(t2-3)b2=0.由于ab=0,所以-4k+t(t2-3)=0.所以k=t(t2-3).由k,t不同时为零得k=t(t2-3)(t0).主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示5、a、b、c是同一平面的三个向量,其中a=(1,2). (1)假设|c|=,且ca,求c的坐标;(2)假设|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角.参考答案与解析:解:(1)设c=(*,y),|c|=,即*2+y2=20, ca,a=(1,2),2*-y=0,即y=2*. 联立得或c=(2,4)或(-2,-4).(2)(a+2b)(2a-b),(a+2b)(2a-b)=0,即2a2+3ab-2b2=0.2|a|2+3ab-2|b|2=0. |a|2=5,|b|2=,代入式得ab=.cos=-1.又0,=.主要考察知识点:向量与向