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1、难点36函数方程思想函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.难点磁场1. ()关于x的不等式2,32x-3x+a2-a-30,当0WxWl时恒成立，则实数a的取值范围为.2. ()对于函数f(x),若存在xoCR,使f(xo)=xo成立，则称xo为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+i)x+(b-
2、1)(aw0)(1)若a=1,b=-2时，求f(x)的不动点；(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、1B关于直线y=kx+-2对称，求b的取小值.2a21案例探究例1已知函数f(x)=lOgma小x3(1)若f(x)的定义域为e,B,(Ba0),判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0vmv1时，使f(x)的值域为logmm(B-1),logmm(a-1)的定义域区间为1a,3：(Ba0)是否存在？请说明理由.命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应
3、用.属级题目.知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组.错解分析：第(1)问中考生易忽视“a3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根.技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题.x3一解：(1)0xv3或x3.x3f(x)定义域为a邛,.a3、几4x13x236(x1x2)-设,x1x2a,有一-0x13x23(x13)(x23)当0vmv1时，f(x)为减函数，当m1时，f(x)为增函数.(2)若f(x)在”邛上的值域为10gmm(B-1),logmm(a-1):0vmv1,f(x)为
4、减函数.3,，八f()10gm10gmm1(1)3一、,3,，,、f()10gm-10gmm1(1)32-一m(2m1)3(m1)02,m(2m1)3(m1)0即a,B为方程mx2+(2m-1)x-3(m-1)=0的大于3的两个根0m1一2一2 .3- 0 m5;(2)对任意实数a,恒有f(2+COSa)W0,证明m3；(3)在(2)的条件下，若函数f(sina)的最大值是8,求m.命题意图：本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围.属级题目知识依托：一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式.错解分析：第(1)问中易漏掉0和tan(A+B)0,第(2
5、)问中如何保证f(x)在1,3恒小于等于零为关键.技巧与方法：深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列.列式要周到，不遗漏.(1)证明：f(x)+4=0即x2(m+1)x+m+4=0.依题意：(m1)24(m4)0tanAtanBm10又a、B锐角为三角形内两内角tanAtanBm40vA+Bv兀2tanAtanBm1M.tan(A+B)v0,即tan(AB)01tanAtanBm32m2m150m10,m40-m5m1-0m3(2)证明：=f(x)=(x-1)(x-m)又-1wcosOC1,1-12+COSa3,恒有f(2+COSa)0即Kx3时，恒有f(x)0即(x1)(x-m)X但x
6、max=3,mxmax=3m 1、(3)解: f(sin a 尸sin2 a (m+1)sin a +m=(sin )2(m 1)24m 1且2,，当 sina = -1 时，f(sin a )有取大值 8.2即 1+(m+1)+m=8,m=3锦囊妙计函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数系和转化.考生应做到：(1)深刻理解一般函数 y=f(x)、y=f-i(x)的性质(单调性、方程与不等式之间的相互联奇偶性、周期性、最值和图象变换)，熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础(2)密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、 程、一元二次不等式是中学数
7、学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系 基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略歼灭难点训练一、选择题7L二次方.掌握二次函数已知函数 f(x)=loga Jx - (2a)2对任意 xC ：-,2+ OO都有意义，则实数a的取值范围是A.(0, 1 42. ()()Bl。，1)4C. J,141 1、D，a)函数f(x)的定义域为R,且xwl,已知f(x+1)为奇函数，当 x1时,f(x)=2x2-x+1,那么当x1时,f(x)的递减区间是(A. 3 4 5 6 , + )4二、填空题B3C. - ,+71 18. ()已知函数f(x)=(a0,x0).ax(1)求证：f(x)
8、在(0,+8)上是增函数；(2)若f(x)w2x在(0,+8)上恒成立，求a的取值范围；(3)若f(x)在m,n上的值域是m,n(mwn),求a的取值范围参考答案难点磁场1 .解析：设t=3x,贝U正1,3,原不等式可化为a2-a-3-2t2+t,te1,3.等价于a2-a-3大于f(t尸-2t2+t在1,3上的最大值.答案：(-8,-1)u(2,+8)2 .解：(1)当a=1,b=-2时，f(x)=x2-x-3,由题意可知x=x2-x-3,彳导x1=-1,x2=3.故当a=1,b=-2时，f(x)的两个不动点为-1,3.(2) .f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(aw0)恒有两个不
9、动点,.x=ax2+(b+1)x+(b-1),即ax2+bx+(b-1)=0恒有两相异实根.1A=b2-4ab+4a0(bR)恒成立.于是A=(4a)2-16av0解得0vav1故当bCR,f(x)恒有两个相异的不动点时，0vav1.(3)由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x1,x1),B(x2,x2)又二A、B关于y=kx+一1一对称.2a21.k=-1.设AB的中点为M(x,y),x1,x2是方程ax2+bx+(b-1)=0的两个根.2a21上有xz=v=xx2,又点M在直线yx22abb1a12，即b272a2a2a212a21。12a一aa02a+12d2当且仅当2a=1即aaa
10、=32(0,1)时取等号,故b-，得b的最小值-立2,24歼灭难点训练、1.解析：考查函数y1=Jx和y2=(2a)x的图象，显然有0v2av1.由题意J1(2a)22得a=1,再结合指数函数图象性质可得答案.4答案：A2.解析:由题意可得f(-x+1)=-f(x+1).令t=-x+1,则x=1-t,故f(t)=-f(2-t),即f(x)=-f(2-x).当 x 1,2 - xv 1,于是有 f(x)= - f(2 - x)= - 2(x- 7 )2 - 7 ,其递减区间为48答案：Cax 1 一3.解析：显然有x3,原方程可化为 10x 3故有(10 - a) x=29，必有 10 - a0
11、 得 a3 可得 a -10 a31答案：va10324.解析：原式化为 y (cosx )2 .24+ oo)出m ,当1,ymin=1 +m= 4 m= - 5.22当1W 一 1 ， ymin = 1 m= 42答案：土 5二、5.解：令 2x=t(t0), 由f(t) = 0在(0,+ 8)有且仅有一 f(t)=0有两等根时，A =0m=5.设 f(t)=t2 - 4t+a.根或两相等实根，则有16 - 4a=0a=4验证：t2 - 4t+4=0t=2C(0,+8),这时 x=1f(t)=0有一正根和一负根时，f(0) v 0av 0若 f(0)=0,则 a=0,此时 4x-4 - 2
12、x=02x=0 (舍去)个元素,或2x=4,，x=2,即A中只有综上所述，aW0或a=4,(2)要使原不等式对任意 成立.只须即 B= a | a0 恒g(4) 010x5 V17x28 06.解：(1);方程ax2+bx=2x有等根，=(b-2)2=0，得b=2.bc由f(x-1)=f(3-x)知此函数图象的对称轴方程为x=-=1得a=-1,故f(x)=-x2+2x.2a1(2)f(x)=-(x-1)2+11,4n1,即n-4而抛物线y=-x2+2x的对称轴为x=1.n1时，f(x)在m,n上为增函数.4若满足题设条件的m,n存在，则f(n)4n2即m2n2m 4m m2n 4n又 mvnw
13、 4 ,.-. m= -2,n=0,这时定义域为-2,0,值域为-8,0.由以上知满足条件的m、n 存在，m= - 2,n=0.7.(1)证明：当n=1时，g1(x0)=x0显然成立;设 n=k 时，有 gk(x0)=x0(kC N)成立, 则 gk+1 (x0)=f gk(x0) =f(x0)=g1(x0)=x0即n=k+1时，命题成立.对一切 n C N,若 g1(x0)=x。，则 gn(x0)=x0.(2)解：由(由 f(xo)=xo,得1)知，稳定不动点 x0只需满足f(x0)=x02f 56x0 6x02=x0, - x0=0 或 x0=一6，稳定不动点为0和56(3)解：. f(x)v0,得 6x- 6x2 0gn(x) 0要使一切nC由 g1(x)0f gn 1(x) 2,都有6x-6x206x-6x21故对于区间xv 0 或 x 1.gn
