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1、24.1.4 圆周角【知识与技能】理解圆周角的概念.探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系，并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明.【过程与方法】经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想，渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法，提高学生的发散思维能力.【情感态度】通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验.【教学重点】圆周角定理及其推论的探究与应用.【教学难点】圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及圆周角定理及推论的应用.一、情境导入，初步认识如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的
2、位置.同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（AOB和ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（ADB和AEB）和同学乙的视角相同吗？相同，2ACB=2AEB=2ADB=AOB【教学说明】教师出示海洋馆图片，引导学生思考，引出课题，学生观察图形、分析，初步感知角的特征.二、思考探究，获取新知1.圆周角的定义探究1 观察下列各图，图（1）中APB的顶点P在圆心O的位置，此时APB叫做圆心角，这是我们上节所学的内容.图（2）中APB的顶点P在O上，角的两边都与O相交，这样的角叫圆周角.请同学们分析（3）、（4）、（5）、（6）是圆心角还是圆周角.【教学说
3、明】设计这样的一个判断角的问题，是再次强调圆周角的定义，让学生深刻体会定义中的两个条件缺一不可.【归纳结论】圆周角必须具备两个条件：顶点在圆上；角的两边都与圆相交.二者缺一不可.2.圆周角定理探究2如图，（1）指出O中所有的圆心角与圆周角，并指出这些角所对的是哪一条弧？（2）量一量D、C、AOB的度数，看看它们之间有什么样的关系？（3）改变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化？你发现其中有规律吗？若有规律，请用语言叙述.解：（1）圆心角有：AOB圆周角有：C、D，它们所对的都是（2）C=D=1/2AOB.（3）改变动点C在圆周上的位置，这些圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰好
4、等于同弧所对圆心角度数的一半.【教学说明】教师利用几何画板测量角的大小，移动点C，让学生观察当C点位置发生改变过程中，图中有哪些不变，从而交流总结，找出规律，同时引导学生观察圆心与圆周角的位置关系，为定理分情况证明作铺垫.为了进一步研究上面发现的结论，如图，在O上任取一个圆周角ACB，将圆对折，使折痕经过圆心O和ACB的顶点C.由于点C的位置的取法可能不同，这时折痕可能会：（1）在圆周角的一条边上；（2）在圆周角的内部；（3）在圆周角的外部.已知：在O中，所对的圆周角是ACB，圆心角是AOB，求证：ACB=1/2AOB.提示分析：我们可按上面三种图形、三种情况进行证明.如图（1），圆心O在AC
5、B的边上，OB=OC，B=C，而BOA=B+C，B=C=1/2AOB.图（2）（3）的证明方法与图（1）不同，但可以转化成（1）的基本图形进行证明，证明过程请学生们讨论完成.得出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半.注意：定理应用的条件是“同圆或等圆中”，而且必须是“同弧或等弧”，如下图（1）.若将定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦所对的圆周角有两种情况，它们一般不相等（而是互补）.如下图（2）.【教学说明】在定理的证明过程中，要使学生明确，要不要分情况来证明.若要分情况证明，必须要明白按什么标准来分情况，然后针对
6、各种不同的情况逐个进行证明.在证明过程中，第（1）种情况是特殊情况，是比较容易证明的，经过添加直径这条辅助线将（2）、（3）种情况转化为第（1）种情况，体现由一般到特殊的思想方法。对于后面要学生注意的两个问题，是为了加强学生对圆周角定理的理解，使学生能准确的掌握好圆周角定理。3.圆周角定理的推论议一议（1）特殊的弧半圆，它所对的圆周角是多少度呢？（2）如果一条弧所对的圆周角是90，那么这条弧所对的圆心角是多少呢？结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.（圆周角定理的推论）【教学说明】这个推论是圆中很重要的性质，为在圆中确定直角，构成垂直关系创造了条件.同时这一结论为
7、在圆中证明直径提供了重要依据.4.圆内接四边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图，四边形ABCD是O的内接四边形.O是四边形ABCD的外接圆.连接OB、OD，由圆周角定理可知：A=1/21，C=1/22而1+2=360，A+C=A与C互补，同理可得ADC+ABC=180.由此可知在O的内接四边形ABCD中，对角A与C，ADC与ABC互补.若延长BC至E，使得四边形ABCD有一个外角DCE，则DCE+BCD=180.A=DCE.即：外角DCE与内对角A相等.由此可知圆内接四边形有如下性质：圆内接四边形的对角互补，外角等于内
8、对角.【教学说明】从圆内接四边形的定义出发，可知圆内接四边形的四个内角都是圆周角，再由圆周角定理，把圆周角与相应的圆心角联系起来，就很容易得出圆内接四边形的性质定理.对于这个性质，学生要能分清这个命题的题设和结论，并结合图形写出已知和求证.三、典例精析，获取新知例1如图，O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交O于D.求BC、AD、BD的长.分析：由直径AB可知ACB和ADB为直角三角形，进而可用勾股定理求BC，又由CD平分ACB可知1=2，从而得到AD、BD.再次用勾股定理求出AD、BD的长.解：AB为O的直径，ACB=ADB=90，ACB和ADB为直角三角形.在RtABC中
9、，BC=8（cm）.CD平分ACB，1=2，AD=BD， .又在RtABD中，AD=BD=/2 AB=5（cm）【教学说明】利用圆周角定理及其推论，将求线段长的问题转化到解直角三角形的问题上来.例2 如图.AB为O的直径，点C、D在O上，AOD=30.求BCD的度数.分析：这题有两种解答思路，可用圆周角定理，C=（180+AOD）1/2，也可由圆内接四边形的对角互补知：C+A=180.而A=D，是等腰OAD的两底角，从而可求出C.两种方法都不难求出C=105.【教学说明】教师提示，学生可自主选择方法，并由学生板书解答过程，发展学生的数学符号语言能力.四、运用新知，深化理解1.如图（1）所示，O
10、的直径AE=10cm.B=EAC，求AC的长.2.如图（2）所示，AB是O的直径，以AO为直径的C与O的弦AD相交于点E.（1）你认为图中有哪些相等的线段？（2）连接OE、BD.你认为OE与BD之间的关系是怎样的？3.如图（3）所示，两圆相交于A、B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C、D分别在两圆上，若ADB=100，求ACB的度数.【教学说明】让学生通过习题巩固本节知识点，同时体会这节常见题型及常见辅助线的作法.在解题过程中，教师要对没有找到方法的学生进行点拨.【答案】1. 5cm 2.(1)OA=OB，AC=OC，AE=DE (2)OE=1/2BD且OEBD3.40五、师生互动，课堂小结师生
11、共同回顾本节所学的知识点有哪些？常见的辅助线有哪些？【教学说明】学生自主交流小结，教师加以补充和点评，营造轻松愉悦的氛围.1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.1.这节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念.在探索圆周角与圆心角关系过程中，要求学生学会分类讨论，以及转化的数学思想解决问题，同时也培养了学生勇于探索的精神.其次，本节课还学习了圆内接四边形定义及圆内接四边形的性质，通过例题和习题训练，可以使学生在解答问题时灵活运用前面的一些基础知识，从中获取成功的经验，建立学习的自信心.2.圆周角定理的证明分了三种情况探讨，这里蕴含着重要的数学思想分类思想，教材中多处闪烁着分类思想的光环:三角形分类、方程的分类等，故教学过程中要整理相互交融的知识结构，加强分类思想的渗透.
