《高次方程及解法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高次方程及解法（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精心整理高次方程及解法?江苏省通州高级中学？徐嘉伟一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“ 1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程#-4F :-及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。一、一1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。求出方程的_1
2、的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以(x-1)或者(X+1 )，降低方程次数后依次求根。“ 1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。例 1 解方程 x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程，因为各项系数之和为：1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零+1根”，即原方程中可分解出因式(x-1),v (x4+2x3-9x2-2x+8)弓(x-1)=x 3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0,偶次项系数之和为：3-8=-5 ;奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含
3、有因式(x+1)，(x3+3x2-6x-8)“ (x+1)=x 2+2x-8，对一元二次方程 x2+2x-8=0 有(x+4) ( x-2)=0/ 原高次方程 x4+2x3-9x2-2x+8=0 可分解因式为：(x-1)(x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0 时，有 X1 = 1;当(x+1) =0 时，有 X2=-1;当(x-2)=0 时，有 X3=2;当(x+4)=0 时，有 X4=-4点拨提醒：在运用“一 1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项” 系数计算。二、常数项约数求根法精心整理根据定理：“如果整系数多项式anxn + an-ixn-1 +aix
4、+ao可分解出因式px-Q,即方 程anxn + an-ixn-1+aix+ao=O有有理数根Q (P、Q是互质整数)，那么，卩一定 是首项系数an的约数，Q 一定是常数项ao的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求 解方程的简捷方法。“常数项约数求根法”分为两种类型：第一种类型：首项系数为1。对首项(最高次数项)系数为1的高次方程，直接 列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解。例 1 解方程 x4+2x3-4x2-5x-6=0解：第一步：首先列出“常数项”-6的所有约数_1、_ 2、
5、一 3、_ 6第二步：将这些约数逐一代入原方程验算，确定原方程中所含的“带根”因式。根据各项系数和不为零和奇数项系数和不等于偶数项系数和，排除一 1根，第三步：用长除法将原方程降次。(x4+2x3-4x2-5x-6)(x-2)(x+3)=x 2+x+1第四步：解一元二次方程 x2+x+1=0-b _ . b2-4ac-1士叮12-4 1 1 -1-；3ix=2f(2)=16+16-16-10-6=0f(-3)=81-54-36+15-6=0,所以原方程中含有因式(x-2)(x+3)2a2-_1+岛_1_爲c C X1二,X2二,X3=2x 4=-32 2第二种类型，首项系数不为1。对首项系数不
6、为1的高次方程，首先以首项系数ixP其余的解法步骤同首项系数为1的解法步骤相同。例 2 解方程 3 x3- 2 x2 +9 x-6 =0解：将原方程化为3 (x3-x2 +3 x- 2)=0此时，“常数项”32，根据“ 1判根法”排除1，这时，代人原方程验算的只能是2_2j2f + 2_23 丿 3 33 3为，它的约数为一1,Q = 2或 Q=_2P 3 P 3f(|)=3=3-8 2-2=3 0=02727为“公因数”提取到小括号外，然后对小括号内的方程的常数项列出公约数。特别注意 此时代入方程验算的值一定是 Q而不是Q,因为此时原方程的因式是(P x Q),所以原方程中有因式(3X-2)
7、(3x3-2 x2+9 x-6)解方程式x2+3=0x=F ,原方程的解为X1=-2三、倒数方程求根法- (3x-2)=x 2+3 xi=-2-3i，I 10、55 -64是原方程的实数根。12点评讲析：例1、例2这些倒数方程的特征是首尾等距离对应项系数相等，用一Z-)7 _ ” /般表达式表述为ax4+bx3+cx2+dx+e=0,其中a=e,b=d,或者a=-e,b=-d对首尾对应项系 数相等的方程，我们一眼就能发现是“倒数方程”，两边同除以x2,化成可用“换元法” 替解的一元二次方程求解。但有些方程，首尾等距离对应项系数不相等，但这些系 数又有这样的规律：如 ax4+bx3+cx2+kb
8、x+k2a=0(aH0)即常数项可以分解成同四 次项系数相同的数字“a”和另一个因数k2”的乘积，一次项系数可分解出同三次项系数 相同的数字b和与常数项Jk2相同的数字k的乘积，凡是具有这样规律特征的方程， 也可以用“倒数方程求根法”来解答。例 3: x4+5x3+2x2+20x+16=0解:守 e=16=42 汉 1 =k2，d=20=4 汉 5 = kb属于倒数方程的“特例形式”，可用“倒数方程求根法”求解。原方程两边同除以x2 得：x2+5x+2+凹+马=0，x x2+16x 十入2 x )x2+5x+2+广5 x+2=0设 y=x+ 侧 x)x即：y2+5y-6=0y=-6 或 1,当
9、 y=-6 时，x+ 里 _ _6, x _ _3 二、5 x当 y=1 时，x+ - =1(无实数根)人=-3 5 ,X2 = -3 -5 x四、双二次方程及推广形式求根法双二次方程有四种形式：2 16 x2-8x第种是标准式，如：ax4+bx2+c=0,此时设y=x2原方程化为含y的一兀一次方程ay2+by+c=0，求出y值在代入x2之值，从而求出x之值第二种形式双二次方程的推广形式。女口： (ax2+bx+c ) 2+m(ax2+bx+c)+d=0,此时设 y=(ax2+bx+c),也可转化为含 y 的 一元二次方程y2+my+d=0,解出y值代入ax2+bx+c=y从而求出原方程的根x
10、之值。第三种形式是(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,此时，方程左边按照“创造相同的多项 式，换元替换”的要求，将(x+a)(x+c);(x+b)(x+d)结合(一般是最小数与最大数， 中间数与中间数组合)，展开相乘，创造相同的多项式(ax2+bx+c)或成比例的多项式m(ax2+bx+c),然后设y=ax2+bx+c,将原方程转化为含y的一元二次方程y2+my+e=0,求出y值，将y值代入ax2+bx+c=y求x之值。第四种形式是(x-a)4+(x-b) 4=c的形式，此时，将-a”换成+b”或将“”换成+a”， 利用y二x+ -a 2 ，消去x的三次项和一次项，变成双二次方程
11、 y-口:的形式求解。 2丿 、 2丿例1解方程x4+3x2-10=0解：本例属于双二次方程标准式 ax4+bx2+c=0的形式，直接设y=x2,则原方程化 为：y2+3y-10=0(y+5)(y+2)=0y=-5 或者 y=2 x2 = -5(舍去)，x2=2,xi= 2，冷- 2 例 2 解方程(x2-3x+2)2=9x-3x2-2解：本例属于双二次标准方程 ax4+bx2+c=0推广形式的第二种类型(ax2+bx+c) 2+m(ax2+bx+c)+d=0，因为括号内的二次三项式和括号外的二次三项式经过整理，对应项系数成比例，即：(x2-3x+2) 2+3(x2-3x+2)-4=0设y=x2-3x+2,则原方程转化为y2+3y-4=0 y - -4，或者 y=1x2-3x+2=-4,x 2-3x+6=00无实数根,x2-3x+2=1,x 2-3x+1=0x= 3原方程的根 xi=3 5 ,x2= 3 52 2 2例 3
