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1、 函数性质中的数学抽象在问题解决与设计中的应用 201299 上海市新川中学 姚志青2017年版普通高中数学课程标准给出了普通高中数学学科的核心素养要求，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个方面.数学发展所依赖的思想在本质上有三个，即抽象、推理、模型，其中抽象是核心.数学抽象作为一种数学思想渗透在数学学科的各个知识点之中，笔者对如何在函数性质中体现数学抽象以及如何应用数学抽象进行问题设计展开实践与研究.一、 数学抽象在函数性质中的体现函数是贯穿高中数学的一条主线，数学抽象在函数问题中的应用非常广泛，以2021年上海高考的数学压轴题为例.原题 如果对于任意的x,xR
2、，当x-xS时，恒有f(x)-f(x)S成立，则称f(x)是S关联.(1)判断并证明f(x)=2x-1是否是0,+)关联？是否是0,1关联？(2)已知f(x)是3关联，且x0,3)时，f(x)=x-2x，解不等式2f(x)3.(3)求证：“f(x)是1关联，且是0,+)关联”的充要条件是“f(x)是1,2关联”.这个问题是一个函数的定义型问题，它定义了“f(x)是集合S关联的概念”，通过函数性质的应用考查学生的数学核心素养.函数性质的应用体现了其源于教材中的形式，需要将函数的性质在文字语言、符号语言、图像表述三个方面进行内化，以理解函数性质的本质特征.这个内化的过程可以体现在数学抽象方面，所谓
3、数学抽象就是能够根据一类数学对象抽取或归纳出其本质特征的思维过程.笔者结合上述具体的步骤，分析问题中涉及数学抽象的三个方面.小问(1)解：由f(x)=2x-1，得f(x)-f(x)=2(x-x).当x-x0，+)时，f(x)-f(x)0,+)，所以f(x)是0,+)关联；当x-x0,1时，f(x)-f(x)0,2，所以f(x)不是0,1关联.(一)数学抽象需要类比抽象由题中f(x)-f(x)的形式容易类比联想到教材中的形式，在函数单调性中，通过f(x)-f(x)来作差比较f(x)，f(x)大小，从而确定f(x)的单调性.解题过程中“由f(x)=2x-1得到f(x)-f(x)=2(x-x)，则当
4、x-x0，+)时，f(x)-f(x)0,+)”的本质就是“当xx时，都有f(x)f(x)”，类比联想到函数的单调递增的性质(非严格单调)，所以可以通过类比的方法抽象得到f(x),f(x)的性质.类比抽象就是通过类比的方法抽象出数学对象的形式或性质，它包括两个方面，一个是类比，一个是抽象.类比本身是非常重要的数学思想方法，数学中的类比是基于对两类数学对象的共性比较得出它们可能具有的其他形式或者性质的方法.小问(2)解：f(x)是3关联，所以当x-x=3时，恒有f(x)-f(x)=3成立.由f(x)-f(x)=x-x，得f(x)-x=f(x)-x，令F(x)=f(x)-x，有F(x)=F(x)，得
5、到F(x+3)=F(x)，即对任意xR，都有F(x+3)=F(x).故F(x)是一个周期为3的函数，且x0,3)时，F(x)=x-3x.由2f(x)3，得2F(x)+x3，2-xF(x)3-x.作出F(x)=x-3x，g(x)=2-x，h(x)=3-x的图像，如图1，满足不等式g(x)F(x)h(x)的图像表示为F(x)在g(x),h(x)之间的图像，所以为点A和点B之间的曲线段，由得由图像平移得x3,6)时，F(x)=(x-3)(x-6)，由得x=5.综上，不等式2f(x)3的解集为图1(二)数学抽象需要表征抽象表征抽象就是以数学对象的呈现特征抽象构建出其形象化的特征结构.譬如由f(x)-x
6、=f(x)-x的呈现特征，令F(x)=f(x)-x，为使f(x)-x的性质表征更加明显，需要抽象构建出函数.解不等式2-xF(x)3-x的过程中，代数方法解决不等式问题比较复杂，利用数形结合的思想，可以用几何图像解决不等式问题，作出F(x)=x-3x，g(x)=2-x，h(x)=3-x的图像满足F(x)在g(x)，h(x)之间的部分.对于表征抽象而言，关键在于结构特征的研究和归纳表述.对于同一个问题，表征抽象的观察点不同，抽象得到的性质特征也会不同，譬如上述“当x-x=3时，恒有f(x)-f(x)=3成立”还可以抽象到“对任意的实数xR，恒有f(x+3)=f(x)+3成立”.小问(3)解：必要
7、性：已知f(x)是1关联，且是0,+)关联，由f(x)是1关联知f(x+1)-f(x)=1，即f(x+1)=f(x)+1，由f(x)是0,+)关联,可知对任意x-x0，都有f(x)-f(x)0，即xx时，都有f(x)f(x)，所以，当x-x1时,xx+1,f(x)f(x+1),则有f(x)f(x)+1，f(x)-f(x)1.当x-x2时，xx+2，有f(x)f(x+2)，则f(x)f(x+1)+1=f(x)+2，f(x)-f(x)2.因此，当x-x1,2时，都有f(x)-f(x)1,2，即f(x)是1,2关联.充分性：已知f(x)是1,2关联,故对任意的x-x1,2都有f(x)-f(x)1,2
8、，则有故由f(x+1)-f(x)=1，得f(x)是1关联，即f(x+1)=f(x)+1，故对任意的nN，都有f(x+n)=f(x+n-1)+1=f(x+n-2)+2=f(x)+n，f(x+n)-f(x)=n，所以f(x)是n关联(nN)，对任意的x-x0,+)，必存在kN使得x-xk,k+1，所以，任意x-x-k+11,2时，即x+1-(x+k)1,2时，恒有f(x+1)-f(x+k)1,2成立，f(x+1)-f(x+k)=f(x)+1-f(x)-k1,2，则f(x)-f(x)k,k+1，则f(x)-f(x)0,+)，所以，f(x)是0,+)关联.(三)数学抽象需要强、弱抽象上述解题过程中将“
9、f(x)是1关联推出对任意的x-x=1，都有f(x)-f(x)=1”理解为当自变量相差1的时候都有相应的函数值也相差1，这样的表述虽然弱化了对于定义描述的严谨性，但便于记忆表述.在应用过程中，又可以进一步加强为“对于任意的实数x，都有f(x+1)-f(x)=1”，这样的描述是严谨的，而且便于理解表述.在概念教学中，数学抽象需要体现出不拘于形式的内化理解，这个内化理解根据实际情况的需要可以对研究对象进行弱化或强化的表述，也就是强抽象和弱抽象.沪教版新教材中关于增函数的定义为：“对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间I是D的一个子集，对于区间I上的任意给定的两个自变量的值x,x，当xx时，如果总有f(x)f(x)，就称f(x)在区间I上是增函数，特别地，如果总有f(x)0都有f(x+)f(x)成立，则称函数f(x
