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1、初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理，垂心定理,内心定理,旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简朴。(重心原是一种物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名)重心的性质:1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为1。、重心和三角形任意两个顶点构成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4、在平面直角坐标系中,重心的坐标
2、是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为(X1+X+3）/3,(1+2+）/3)。5.以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。外心定理三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心。外心的性质:1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。、若是ABC的外心，则BC=2A(为锐角或直角）或OC360-2A（A为钝角）。3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时,外心在斜边上，与斜边的中点重叠。、外心到三顶点的距离相等垂心定理图1 图三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。垂心的性质：
3、、三角形三个顶点，三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆。、三角形外心O、重心G和垂心三点共线,且OGGH=1。（此直线称为三角形的欧拉线(Eulerlie）3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。、垂心分每条高线的两部分乘积相等。推论：1. 若D 、 E、F 分别是 BC 三边的高的垂足,则 1 =2。（图1）2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。（图1）3. 若 D 、E、 F 分别是 BC 三边的高的垂足,则 1 = 。（图2）定理证明已知:ABC中,AD、是两条高，AD、BE相交于点,连接CO并延长交A于点F ，求证：CFAB证明:连接EDB=AEB=9度A
4、、B、D、E四点共圆AD=ABE又OC=OEC=90度O、C、E四点共圆ACF=AEABE又ABBA=0度F+B=度FAB因此，垂心定理成立内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的一半。、P为AC所在空间中任意一点,点是AC内心的充要条件是：向量0=(a向量PA+b向量PB+c向量P)/(ab+c).、O为三角形的内心,A、B、C分别为三角形的三个顶点,延长AO交BC边于N，则有AO:O=AB：BN=C：N=(AB+A）:BC5、(欧拉定理)AB中,R和分别为外
5、接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2R-R6、（内角平分线分三边长度关系)ABC中，0为内心，A 、 C的内角平分线分别交BC、AC、AB于、P、R,则BQQC=/b, CP/PA/c, BRRA=a/b.、内心到三角形三边距离相等。旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其她两边的延长线相切的圆）的圆心,叫做三角形的旁心。旁心的性质:1、三角形一内角平分线和此外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。旁心一定在三角形外。2、任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。3、旁心到三角形三边的距离相等。如图,点就是ABC的一种旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的
6、内角平分线的交点。一种三角形有三个旁心，并且一定在三角形外。附：三角形的中心:只有正三角形才有中心,这时重心,内心,外心,垂心,四心合一。巧记诗歌三角形五心歌（重外垂内旁)三角形有五颗心，重外垂内和旁心, 五心性质很重要,认真掌握莫记混.重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了,重心分割中线段,数段之比听分晓; 长短之比二比一，灵活运用掌握好.外 心三角形有六元素,三个内角有三边. 作三边的中垂线,三线相交共一点.此点定义为外心,用它可作外接圆.内心外心莫记混,内切外接是核心垂心三角形上作三高,三高必于垂心交. 高线分割三角形,浮现直角三对整,直角三角形有十二,构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.内心三角相应三顶点,角角均有平分线,三线相交定共点，叫做“内心”有本源；点至三边均等距,可作三角形内切圆, 此圆圆心称“内心”，如此定义理固然.
