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1、专题研究 巧用向量法求空间角图1众所周知,解决立体几何问题,“平移是手段,垂直是关键”,向量的运算中:两向量的共线易解决垂直,两向量所成角及线段的长度等问题。一般来说,当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具,应该说不仅会降低了学习的难度,而且增强了可操作性,为我们的学习提供了崭新的视角,丰富了思维结构,消除了学习立体几何知识所产生的畏惧心理,有利于牢固对立几知识的掌握。角这一几何量本质上是对直线与平面位置关系的定量分析,其中转化的思想十分重要,三种空间角都可转化为平面角来计算,可进一步转化为向量的夹角求解。1、求两条异面直线所成的角:求所成的角(),再化为异面直线所成的角切记即:
2、,其中分别是直线的方向向量。 例1、(2020年福建卷)如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,求异面直线AB与CD所成角的大小;解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,则异面直线AB与CD所成角的大小为评注:以向量为工具,利用空间向量的坐标表示,空间向量的数量积计算,异面直线所成角问题思路自然,解法灵活简便;另本题也可用传统方法(平移法)求解。例2、(2020年广东卷)如图5所示,AF、DE分别是O、O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直,AD8,BC是O的直径,ABAC6,OE/AD求直线BD与EF所成的角.解:以O为原点,BC、AF、OE所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系
3、(如图所示),则O(0,0,0),A(0,0),B(,0,0),D(0,8),E(0,0,8),F(0,0)所以,设异面直线BD与EF所成角为,则直线BD与EF所成的角为2、求直线和平面所成的角:求与的法向量所成的角,则线面角是。利用此种方法的关键是求出平面的法向量。图2具体求法:设是斜线的方向向量,是平面的法向量,则斜线与平面所成的角是特别的:最小角定理:是斜线与平面内过斜足的直线所成的角;是线面角(斜线与射影);是射影与过斜足的直线(面内)所成的角。例3(2020年江苏卷)在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EBCF:FACP:PB1:2(如图1)。将A
4、EF沿EF折起到的位置,使二面角A1EFB成直二面角,连结A1B、A1P(如图2);求直线A1E与平面A1BP所成角的大。图1图2例4、如图,在四棱锥中,底面为直角梯形, 底面,且,分别为、的中点。求与平面所成的角。解:如图,以为坐标原点建立空间直角坐标系,设,则因为,所以,又因为,所以平面因此的余角即是与平面所成的角.,因为,所以与面所成的角为.例5、(2020年湖北卷)如图,在棱长为1的正方体中,是侧棱上的一点,.试确定,使得直线与平面所成角的正切值为;解、建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1
5、,1),D1(0,0,1)所以又由知,为平面的一个法向量。设AP与平面所成的角为,则。依题意有解得。故当时,直线AP与平面所成的角的正切值为。图3甲评注:要特别注意线面角的范围-。先求平面法向量与斜线夹角,再进行换算。3、求二面角:范围:二面角的求法有棱二面角:三步法-作(先作平面的垂线过垂足作棱的垂线连线)、证、算射影面积公式:法向量法:方法一:构造二面角的两个半平面的法向量(都取向上的方向,如图3所示),则图3乙 若二面角是“钝角型”的如图3甲所示,那么其大小等于两法向量的夹角的补角,即(例如2020年高考数学广东卷第18题第(1)问). 若二面角是“锐角型”的如图3乙所示,那么其大小等于
6、两法向量的夹角,即(例如2020年高考数学广东卷第18题第(1)问).图4方法二:在二面角的棱上确定两个点,过分别在平面内求出与垂直的向量(如图4所示),则二面角的大小等于向量的夹角,即 分别是的法向量,则二面角的平面角在内,在内,则二面角的平面角无棱二面角:方法一:无棱变有棱(延长、连线找到棱)射影面积公式:(大题一般按不可轻易使用)例6、三棱锥的三条侧棱两两垂直,三个侧面与底面所成角分别是,底面面积是,则三棱锥的体积是_。(1)法向量法:分别是的法向量,则二面角的平面角ABCDEFOPH 在内,在内,则二面角的平面角例7、(2020年安徽卷)如图,P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面
7、外一点,P在平面ABC内的射影为BF的中点O。求面与面所成二面角的大小。解:以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,P(0,0,1),A(0,,0),B(,0,0),D(0,2,0),设平面PAB的法向量为,则,得,;设平面PDB的法向量为,则,得,;,所求二面角大小是例8、如图,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中,ABC = 90,SA面ABCD,SA = AB = BC = 1,()求四棱锥SABCD的体积;()求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值解:()直角梯形ABCD的面积是M底面, 四棱锥SABCD的体积是 M底面 ()延长BA、CD相交于点E,连结SE则SE是所求二面角的棱 AD
8、BC,BC = 2AD, EA = AB = SA, SESB, SA面ABCD,得SEB面EBC,EB是交线,又BCEB, BC面SEB,故SB是CS在面SEB上的射影, CSSE,所以BSC是所求二面角的平面角 ,BC =1,BCSB, tanBSC 即所求二面角的正切值为评注:可建立空间直角坐标系得进而得二面角的正切值为,同学们自己尝试。也可利用快速验证。例9、在直三棱住中,D是BC的中点,F是上一点,且。求面与面所成锐二面角。提示:方法一:无棱变有棱(延长相交、连接)延长交于点E,连接AE,则AE就是二面角的棱.方法二:(不要直接使用) 方法三:建立空间直角坐标系参考答案:DBACSFEDBACS例10、如图,三棱锥中,有试作出面与面的交线,说明理由;试作出面与面的交线,说明理由。评注:作两平面的交线,是学习立体几何的基本功,在以后的学习中经常用到,尤其是作无棱的二面角的平面角时,更显重要。中还运用了直线与平面平行的判定和性质定理。作简单几何体的截面问题是数学的心脏,痛,并快乐着!