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1、数学分析 第一章1,2 1/18第一章函数与极限 0.集合 一.符号 设1S,2S是两个陈述句(命题或条件)“21SS”:假如1S成立,那么2S成立.“21SS”:由条件1S可推出2S;反过来, 由2S也可推出1S. “”:任给 “”:存在或找到 例.x,使2 521. x,y,都成立yx. 二.集合 具有某种性质的事物的全体叫集合. 属于集合的每个个体叫作该集合的元素. 注.用大写字母表示集合,小写字母表示集合中的元素. 2/18设A是一个集合,a是A中元素,记作Aa.“”表示属于. 若a不是A中元素,记作Aa. “”或“”表示不属于. 1.集合表示法 列举法 描述法xxA=具有性质P. 注
2、.集合中元素之间没有次序关系,同一元素重复出现不具有任何特别意义. 设A,B是两个集合,若BaAa,则称A是B的子集,或B包含A,或A包含于B,记作BA或AB. 称不包含任何元素的集合为空集,记为. 性质.1.含于任何一个集合A,即A. 2.AA. 3.BA,CBCA. 若BA且AB,则称A与B相等,记为BA=.若BA且BA,则称A是B的真子集. 注.1与1不同. 2.集合的运算 给定两个集合A,B,集合 A x或 x B x 称为A与B并,记作B A;集合 A x x并且 x B 称为A与B的交,记作B A;集合 A x并且 x x B 称为A与B的差,记作AB. 设A是X的子集,XA称为A
3、的关于X的补集,记作C A(有时CXA). 运算性质 1.交换律 B B A = . ,A A B B A = 2.结合律 ()()C = , A B C B A ()()C = . A A B C B 3.安排律 ()()()C = , C A B A B A ()()()C = . A A B C A B 3/18 4/184.A是X的子集, XAAC=,=CAA. 5.A,B是X的两个子集, AC BAB=. 6.(deMorgan公式)对偶律 ()CCCBABA=,()CCCBABA=. 3.有限集与无限集 若集合S由有限个元素组成,则称S为有限集,否则称为无限集.若一个无限集中元素可
4、以按某种规律排成一个序列,即这个集合可表示成 ,a,a,a,an321, 则称其为可列集. 注.无限集必包含可列子集,但无限集不一定是可列集. 给定可列个集合,A,A,A,An321,定义它们的并为 = =nnnAAAA211,Nnx+=使得nAx. 定理1.0.1.可列个可列集之并也是可列集.定理1.0.2.Q是可列集. 5/184.Descartes乘积集合 设A,B是两个集合, ()AxyxBA=,并且By 称为A与B的Descartes乘积集合. 注.A与B可以相同也可以不同,甚至其元素可以是完全不同类型的. 做一直线,给定方向,原点和单位长,实数就和直线上的点有一一对应关系,称此直线
5、为实数轴. 1.实数 1.有理数域 ,3,2,1,0=N. N中有两种运算：加法和乘法.它对这两种运算封闭,即N中任两个元素作加法与乘法运算，其和与积均在N之中.但对这两种运算的逆运算不封闭.Z,3,2,1,0=. =+1)(,N,m,nnZmnmQ.有理数集Q具有下列性质 (1).对于加,减,乘,除(除数不为零)封闭. (2).满意交换律,结合律,安排律: abba+=+,abba=； 6/18cbacba+=+)()(,cbacba=)()(；cabacba+=+)(； 其中cba,是Q中任意三个元素. (3).对Q中任意两个元素ba,下列三种状况bababa,0. 若一个数集合满意条件(
6、1)和(2),就称这个集合为域. Q称为有理数域. 满意条件(3)的数域称作有序域. 命题1.1.有理数域是有序域. 定义.数集S称为在数轴上稠密，假如对任意一个Rba),(,都有),(baS. 命题1.2.有理数集在数轴上稠密. 2.无理数 7/18命题1.3.2不是有理数. 例1.无理数加有理数为无理数.无理数乘有理数为无理数. 注.无理数+无理数=？ 有理数+有理数=？ 无理数无理数=？ 有理数有理数=？ 命题1.4.无理数集在数轴上到处稠密. 3.实数域及其完备性 有理数与无理数统称为实数.全体实数的集合记作R.任意的Rx,总可以写成naaamx21.0+=, 其中m是x的整数部分，即
7、不超过x的最大整数，记作x.小数部分记作x.na是x的小数部分的第n位小数. 注.记nnaaamx21.0+=,nx总是有理数且 nnxx101 0-. 任何一个无理数都是一串有理数的极限.定义.设,21nxxx是按自然数顺序编了号 8/18的一串数,称之为序列或数列,记作nx.1x表示第一项,2x表示第一项,nx称为通项.定义.称序列nx是单调递增的,假如 1+nnxx,2,1=n. 称序列nx是有上界的,假如存在MR,使得Mxn,2,1=n. 命题1.5.设nx是R中任意一个单调递增有上界的序列，则存在R中数a,使得axn且axnn=+lim. 定义.若有序数域满意下列要求，则称之为完备的
8、： 任何一个单调递增的有界序列一定有极限.注.完备性也称连续性,实质上说明白R对极限运算是封闭的. 注.刻画完备性有多种方法，彼此等价.注.Q不完备. 注.R是数域，称为实数域.实数域是有序域.实数域是完备的. 4.常用不等式 (1)设ba,是R中任意元素， 9/18bababa+- (2)(平均值不等式)对任意n个正数naaa,21,nnnnaanaanaa11111+.等号当且仅当naaa=21时成立. 定义.设na,a,a21是正数,分别称n aaan+21,nnaaa21, +naaan11121为它们的算术,几何,调和平均值. 定义.RS称作有上界的集合,假如存在MR,使得SxMx,
9、. RS称作有下界的集合,假如存在mR,使得Sxmx,. 既有上界又有下界的集合称作是有界集合. 2.函数的概念 10/181.函数的定义 定义.给定实数集合X,Y.若存在某种规则f,使得对X中每一个元素x都可以找到Y中唯一确定的元素y与之对应,则称这个对应规则f是X到Y的一个函数,记作 f:YX xy()xf= y称为在f下x的象,也称为f在x点的函数值.x称为在f下y的一个逆象(原象).通常称x为自变量,y为因变量.X称为f的定义域,YyyXf=)(并且()Xx,xfy=称为f的值域，)(,(Xxxfx= 称作函数f的图形。 注.函数f:YX本质上是从X到Y的一个映射.注.(1)对每一个X
10、x,与之对应的y唯一确定. (2)只要求有一个变量间的对应规则,而没有要求必需有一个解析表达式. 例1.Dirichilet函数 -=Q RxQxxD01)(. 11/18)(xD今后被用来澄清某些概念. (3)在函数有表达式的状况下,也有可能有多个,它们是分段给出的，称作分段函数.有时连续曲线也必需用分段函数表示.例2.符号函数 =010001)sgn(xxxx. 例3.整数部分=xxx-=,10-=2)2(4 120)(2xxxxf. 12/18 (4),(+-=R ),(bxaRxba,则称f在X严格单调削减. 定义.给定),(+-X关于原点对称,即XxXx-. 若函数YXf:满意 ()
11、()xfxf=-,Xx, 则称f是偶函数; 若函数YXf:满意 ()()xfxf-=-,Xx, 则称f是奇函数. 2.反函数与复合函数 定义.设f是X到Y的映射.若f的逆象也有唯一性,即对X中任意两个不同元素21x,x, ()()2211,xfyxfy=, 都有21yy,则称f为单射; 假如YXf=)(,则称f是满射; 假如f既是单射又是满射,则称f是双射, 15/18又 称一一对应. 注.严格单调递增(减)的函数是单的.思索.单射是否一定是严格单调的？ 定义.设f:YX既是单射又是满射.对任意的Yy,存在唯一确定的Xx,使得)(xfy=,这样的由Y到X的对应称为f的反函数,记作XYf-:1. 注.通常用x表示自变量,y表示因变量.)(xfy=的反函数一般表示为 )(1xfy-=,Yx. 注.)(xfy=的图形与)(1yf
