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1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球、有关定义1 .球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球2 外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球3.内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球 二、外接球的有关知识与方法1 .性质：性质1:过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2 :经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3 :过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在
2、的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4 :球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5 :在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）2 .结论：结论1 :长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2 :若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同;结论3 :长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4 :圆柱体的外接球球心在上下两底面圆
3、的圆心连一段中点处；结论5 :圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6 :直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7 :圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8 :圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9 :侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球3 .终极利器：勾股定理、正定理 及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1 若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直（与直线切圆的结论有一致性）2 .内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等
4、（类比：与多边形的内切圆）3 正多面体的内切球和外接球的球心重合4 .正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合5.基本方法：（1 ）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）四、与台体相关的，此略五、八大模型第一讲柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）b2c ,即 2R找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）：2 .2 2 , a b c ，求出方法:（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为体积为16，则这个球的表面积是（16B 20C. 24D. 32解:2 2 2 2 2V a h 16, a
5、2, 4R a a h4 1624 , S 24，选C;(2)若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是2 2解：4R 3 3 39, S 4 R 9 ；（3）在正三棱锥SABC 中,N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN，若侧棱SA 2,3，则SH平面ABC ,SH AB,ACBC , ADBD , CDAB,AB 平面SCD,ABSC,同理：BC SA, ACSB,即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图（3） -2 ,AM MN,SB/MN ,C（3）题-1（引理）题-2 （解答图）正三棱锥S ABC外接球的表面积是. 36解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直 证明如下：如图
6、（3） -1 ,取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD , AE,CD交于H，连接SH , 则H是底面正三角形 ABC的中心，AM SB, AC SB, SB 平面 SAC,SB SA, SB SC, SB SA, BC SA,SA 平面 SBC, SA SC,故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互相垂直,(2R)2(2 一 3)2(2 .一 3)2(2, 3)2 36，即 4R2 36 , 正三棱锥 SABC外接球的表面积是36 .(4 )在四面体SABC 中,SA平面 ABC , BAC 120 ,SA AC2,AB 1,则该四面体的外接球的表面积为(A.11B.7d.403解：在 ABC
7、中,BC2AC22AB 2AB BCBCABC的外接球直径为2r - sin BAC242(2R)(2r)cos120 7 ,40,S33，那么它的外接球的表面积是解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为a,b, c ( a,b,c R)，则ab 12bc 8 , abc 24, a 3, b 4, cac 62 2 . 22 , (2R) a b2 2c 29, S 4 R 29 ,(6 )已知某几何体的三视图如图所示,何体外接球的体积为2解：(2R)b2 c2R23.3843类型二、对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径(AB
8、CD , AD BC , AC BD )(5 )如果二棱锥的二个侧面两两垂直，它们的面积分别为第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱;第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c, AD BC x，AB CD y， AC BD z，列方程组,2 ab22 x2 2 2.222,、22, 22 xyzbcy(2R) a b c2222caz图2-1补充：图 2-1 中，Va BCD1abc abc61abC.第三步：根据墙角模型，2Ra2b2c2，R22 2 2y z，R8求出R.思考：如何求棱长为a的正四面体体积，如何求其外接球体积?BD 6, AD BC 7,则该三棱锥外例2( 1
9、)如下图所示三棱锥 A BCD，其中AB CD 5,AC2 2b c) 25 36 49110，接球的表面积为 .解：对棱相等，补形为长方体，如图a2 b2 c2 55，4R2 55，2-1，设长宽高分别为a,b,c，2(a2S 55(2 )在三棱锥A BCD中，AB(1)题图CD 2，AD BC3， AC BD4，则三棱锥BCD外接29球的表面积为解:如图2-1，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为a, b,c，2b29，b22 2 2 2 2c a 162(a b c ) 9 4 162 229， 2(a bc2) 9 41629，b229，4R2 竺，S 292 2
10、 2解：正四面体对棱相等的模式，放入正方体中,2R .3，R ，V -23(3 )正四面体的各条棱长都为.2，则该正面体外接球的体积为 p二-IAnx”C、7B(3)解答题(4)题解答图(4)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为PCOi，面积是、2 .图3-2Bi题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,图3-3棱柱的上下底面可以是类型三、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)任意三角形) 第一步：确定球心 0的位置，Oi是 ABC
11、的外心，则OOi 平面ABC ;11第二步：算出小圆 Oi的半径AOi r，OOi - AAi h( AA h也是圆柱的高)；22第三步：勾股定理： OA2 OiA2 OiO2R2 (-)2 r2 R . r2 (h)2，解出 R2V 2例3( i) 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,9且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为8解：设正六边形边长为 a，正六棱柱的高为 h，底面外接圆的半径为正六棱柱的底面积为 S 6- (-)2423、3、3，4R2i2( . 3)242y/3 21 2也可 R()()1)，R 1，2 2球的体积为V
12、球(2)直三棱柱ABC ABiCi的各顶点都在同一球面上,若ABACAA2 , BACi20，则此球的表面积等于解：BC2 3，2爲 4，r 2，R 5，S 20(3)已知EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直,EA EB3, AD 2, AEB60，则多面体E ABCD的外接球的表面积为.i6解：折叠型,法一：EAB的外接圆半径为ri法二：OiM -，r2 O2D216 ；法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式,算法可同上，略.换一种方式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径：(2R)2 (2 3)2 22 16，S表16（4 ）在直三棱柱 ABC A1B1C1
13、中,AB4, AC6, A, AA1 4 ,则直三棱柱3ABC A1B1C1的外接球的表面积为160解:法一：BC216 3628，BC,2r 4 7 , rV3J32、73，R2r2 （出）228 42340160法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略第二讲锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径一一正弦定理求大圆直径是通法）P1 .如图4-1，平面PAC平面ABC，且ABBC （即AC为小圆的直径），且P的射影是 ABC的外心 三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心 0的位置，取 ABC的外心。1，则P,0,01三点共线；第二步：先算出小圆 01的半径AO1 r，再算出棱锥的高 PO1 h （也是圆锥的高）；2 2 2 2 2 2第三步：勾股定理： 0A O1A O1OR （h R） r，解出R ；事实上，ACP的外接圆就是大圆，直接用 正弦定理也可求解出R.2
