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1、微积分经济应用数学部分习题解答(参考)习题一(P37)21.一1f(a+1)1.设函数f(x)丝求：f(0),f(-1),f(-),x1a解：分析：即求当x为0,-1,1，(a+1)时的函数值。af(-1)=f(0)=1；f(1)=af(a+1)=2(a1)123(a1)1a3.下列各组函数是否表示相同的函数？为什么?(1) y= lg x2 与 y= 2lgx(2)y=1与y=sin2x+cos2xx21一,(3) y=1与y=x+1x1(4) y=-xx与y=-x2解：分析：相同函数的条件是D与f相同。(定义域与对应规则)(1)不同，D不同(2)相同定义域与对应法则相同(3)不同，D不同(
2、4)不同对应法则不同(当x=-1,对应y不同)4.求下列函数的定义域:(1)y= arcsinx1y=-x,1y=lg1x解：求定义域应记住：分母?y=三1x2x1(4)y=lglg(x+1)(6)y=tan(2x+1)(2x+1-k)0Ha0log：x0三角函数的限制。y=解D:x#0或(-,0)(0,)y=1x2(4)lglg(x+1)解:1x2D:-1x1解:ig(i)0D:(0,+oo)(3) y= lg(5) y=arcsin解:D:-2,1解:D:-1,3解:2x+1(6) y=tan(2x+1)2kx2D:x245.判断下列函数的奇偶性。xxxx(1)f(x)=Tf(x)=lg(
3、x+.13x解:f(-x)=3=f(x)解:f(-x)=lg(-x+1(x)2f(x)是偶函数。(x1x2)(x-1x2)=lg2(x、1x2)R1一xzUX2)1=-lg(x+1x2)=-f(x)f(x)是奇函数。f(x)=xex解：f(-x)=-xex小(x)也于-f(x)f(x)是非奇非偶函数。(5)f(x)=log3解:f(-x)=log31分析：判断奇偶函数=log3(=-logx产)1x1x1x(1)f(-x)=f(x),f(x)(2)f(-x)=-f(x),f(x)是偶函数是奇函数=-f(x)否则非奇非偶。f(x)是奇函数。x(6)设f(x)=x22求f(0),f(-1),f(-
4、2),f(2),并作出函数图像。解：分析：求分段函数的函数值D先确定xo的所属的区间从向确定其解析式尔后代之，作图需分段作图。0 -1x 1 -1 x -1f(0)=02=0f(-1) = (-1)+2 =1 ,f(1) = 12 =1f(-2)=(-2)+2=0,f=2-2=07.设f(x)=3(x) x2+2x (x - 0)(2)2 (x -0)x求f(x),f(x)xx解：分析：视f(x)中的(x)为中间变量代替f(x)中的变量x而成。f尸甘x1f(x)=f(x)10.求下列函数的反函数(3) y = 2x 3 + 1解：x 3 =2(4)y=1-ig(x+2)解：lg(x+2)=1-
5、yx+2=101y即 y =3x22x=101y-2即y=101x-214.下列变量中哪些是无穷小，哪些是无穷大(在指定的变化过程)分析：在指定变化过程中，变量一0是无穷小。变量一0是无穷大。(-1)丁(n)解：当nfs时(-1) n1是有界量解法一：lim1Xlim：limnnnnnn二是无穷小量2n是无穷小。=0+0=0是无穷小是无穷大.(x 1)工是无穷小，cosx-0是无穷xx解：x f+oo, 2 xf+oo是无穷大.(x f+oo)1+、ex(x0)1解：x-0+,1,e是无穷大.(x-0+)x1(6)ex(x-0-)解：x-0-,1,e*J0是无穷小.(x-0-)xixelgx(
6、x-0+)解：x-0+,lgx-8,是无穷大.(x-0+)(8) (x-1)x11解:x1,x-1-0,x1(9) cosx(xoo)x解：cosx1,是有界量，xoo时小.(x-oo) 2 x (x +oo)15.求下列极限.(1)Iim2(2x25x1)解：连续函数Iimf(x)f(xo)xX02lim2(2x25x1)=2X(-2)+5X(-2)-1=-3(12)lim(3 x 11 x3-) x解：分析：分子.分母极限均存在，可用法则v22Iimx23x3x3limo-4242x3xx1lim_xx1x-3=(3)23=0(3)4(、3)21解：原式二Iim31Iim x 0 x(x
7、2) 2xxx2x1(1x)(1xx)=Iim(1x)(2x)2x1(1x)(1xx)2x=Iim2=1x11xx2(13)111、nim(1222下)解：Iim(1-2-)x0x3解:原式=1Iim一n1c1针2M1=1-(Iimx0x32)5331cnim21(-)n=2(14)解Iim20x2x23解:原式=Iim2x2x02x(x2)2(x2)分析：无穷小的倒数是无穷大(11)limn(2n1)20(3n1)30(5n1)50解:分析：分子、分母同除以n50limn(2n1)18*20(3n1)30=220330(5n1)505503x216.设函数f(x)x212x讨论当x0及1时f
8、(x)的极限并求limf(x)x解：本题的解法可参照书中P13例3(1)当x0limf(x)lim(x21)1x0x0limf(x)lim(3x2)2x0x0左极限于右极限f(x)极限不存在.(当x-0)2-(2)当x1limf(x)lim-2x1x1xlimf(x)lim(x21)2x1x1左极限=右极限=f(1)=2当x-1时f(x)的极限为22一(3)当x0limf(x)lim-0解法sinxsinx1：原式=limSs%一x 0 sin3x,1= limosx 0 sin xsinx sin x解法 2:原式=limosx-一 x 0 sin3x1 lim x 0 sincosx2xc
9、osxxxx1 cosx lim2-x 0 cos x(1 cos x)1 1 2sin2- lim22x 0 sin xcosx=limx 0 cosx(1 cosx)1=22sin2- lim2x 02 x 2 x4sin cos cosx 221 limx 02 x2cos cosx212解法3: “用洛必达”12 cosx原式=limx 0 3sin xcosx31 cos x 1lim2 3x 0 3sin x cos x23cos x( sin x) lim x 0 6sin xcosxx sin xlimx 0 x sin x/ sin x1 -解：原式=limxx 0sinx1
10、 x1 1=0cosxlimx0212sin5x(2)limx0sin2xsin5x解法1：原式=lim-5x-5x0sin2x22xsin5xlim=5x05x5.sin2x2lim2x02x解法2：可用等价无穷小解之原式二limx02xlim 2n sin，n2n.3arctanxlimX02x解:原式=limn(当x0arctanxx)ljm0.1sin2n12n.1sin_2112ntanxsinx.sin x lim 一lx”x解：原式=lim年x0x.xlim一x0x=1-1=019.求下列极限lim(1xlim(1xx(1解：原式=lim(12)2=exx解：原式=lim(1x1
11、=e21lim(彳),x33_2_解：原式=lim(1工)，x3lim(12cosx)secxx一2解：原式=lim(12cosx)2cosx2x一2lim(。2xx1解：原式=lim(12x_1-) 2 2 (1x 1-)x20.求下列函数的间断点并指出其类型。(2) y = x sini1解：lim x 1 x 1解:lim xsin-x 0 x1 xlim (无穷小x有界量)x=-1是无穷间断点是第二类间断点x = 0是第一类间断点为可去间断点x2 25x 5(4) y = (1+x)解:则看101解：.1 x)5ex = 5是可去间断点x = 0是第一类间断点，可去间断点第一类间断点x212x23x2(6)y=x21x23x2xsinx解：limxlimr1xsinxx0sinxxlim(x1)(x1)x1(x1)(x2)x=0是第一类可去间断点
