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1、圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为( x 1 , y 1 ) ， ( x2 , y2 ) ，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论） ，消去四个参数。如：（1）x2y21(ab0) 与直线相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0 0a2b2,y )，x0y0k0 。则有2b2ax2y21(a0, b0) 与直线 l 相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0 0（2） a2b2,y )x0y0k0则有 a 2b 2（3）y20 00=2px（p0）与直线 l
2、 相交于 A、B 设弦 AB中点为 M(x ,y ),则有 2y k=2p,即 y0k=p.典型例题给定双曲线 x 2y21。过 A（2，1）的直线与双曲线交于两点 P12及 P2 ，求线段 P1 P2 的中点 P 的轨迹方程。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点 P，与两个焦点 F1、 F2 构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题x2y211 (,0)2(,0)为焦点，设 P(x,y)为椭圆 22ab上任一点， Fc， FcPF F2， PF2 F1。1（1）求证离心率 esin()；sinsin（2）求 |PF1 |3 PF2 |3的最值。（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与
3、圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题抛物线方程y2p xp0)，直线xy t与x轴的交点在抛物线准线的右边。( 1)(（ 1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（ 2）设直线与抛物线的交点为 A、B，且 OAOB，求 p 关于 t 的函数 f(t) 的表达式。（ 4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来
4、解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数 （通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。（1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围，即：“求范围，找不等式 ”。或者将 a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（ 2）首先要把 NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值 ,即：“最值问题，函数思想 ”。最值问题的处理思路：1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y 的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次
5、方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题已知抛物线 y2=2px(p0)，过 M（a,0）且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点 A、B，|AB| 2p（1）求 a 的取值范围；（2）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求 NAB面积的最大值。（5）求曲线的方程问题1曲线的形状已知 -这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题已知直线 L 过原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上。若点 A（-1，0）和点 B（0，8）关于 L 的对称点都在 C 上，求直线 L 和抛物线 C的方程。2曲线的形状未知 -求轨迹方程典型例题已知直角坐标平面上点Q（2
6、，0）和圆 C：x2+y2=1, 动M点 M 到圆 C 的切线长与 |MQ| 的比等于常数 （ 0）,N求动点 M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。OQ（6） 存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题， 可以按如下方式分三步解决： 求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。 （当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）22典型例题已知椭圆 C 的方程 xy1，试确定m 的取值范围，使得对于直4 3线 y 4 x m ，椭圆 C上有不同两点关于直线对称（7）两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题， 常用 k1 k2y1y21来处理或用向量的x1x2坐标运算来处
7、理。典型例题已知直线 l 的斜率为 k ，且过点 P( 2,0) ，抛物线 C: y 24( x 1) ，直线l 与抛物线 C 有两个不同的交点（如图） 。（1）求 k 的取值范围；（2）直线 l 的倾斜角为何值时， A、B 与抛物线 C 的焦点连线互相垂直。四、解题的技巧方面：在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：（1）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往
8、往能减少计算量。典型例题设直线 3x4ym0 与圆 x 2y2x2 y0 相交于 P、Q 两点，O 为坐标原点，若OPOQ ，求 m 的值。（ 2） 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它， 而是结合韦达定理求解， 这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题已知中心在原点O，焦点在 y 轴上的椭圆与直线yx1 相交于 P、Q两点，且 OPOQ ， | PQ|10，求此椭圆方程。2（3） 充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题求经过两已知圆C1 ： x2y 24x 2y 0 和 C2 ： x 2y 22 y 4 0
9、 的交点，且圆心在直线 l ： 2 x 4 y10 上的圆的方程。（4）充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题这也是我们常说的三角代换法。典型例题x2y2P 为椭圆2b2 1上一动点， A 为长轴的右端点， B 为短轴的上a端点，求四边形 OAPB面积的最大值及此时点P 的坐标。（ 5）线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是：把直线方程 y kx b 代入圆锥曲线方程中，得到型如 ax2bxc0x，的方程，方程的两根设为 x A ， B判别式为， 则 | AB| 1
10、 k 2 | xAxB |1k 2 ，若直接用结论， 能减少配| a |方、开方等运算过程。例求直线 xy10 被椭圆 x24 y 216 所截得的线段 AB 的长。 结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时， 由于圆锥曲线的定义都涉及焦点， 结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。例F1、F2是椭圆 x 2y 21 的两个焦点， AB 是经过 F1 的弦，若 | AB|8 ，求259值|F2A|F2B| 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例点 A（3，2）为定点，点 F 是抛物线 y 24x 的焦点，点 P 在抛物线 y 24x上移动，若 | PA|
11、|PF |取得最小值，求点P 的坐标。圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1. 直线方程的形式（ 1）直线方程的形式有五种： 点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式 。（ 2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率 ktan,0,)点到直线的距离dAx0By0C夹角公式： tanA2B2（3）弦长公式直线 ykx b 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 间的距离： AB(1 k2 )( xx )24x x或AB112 y1 y21212k（4）两条直线的位置关系k2k11k2 k11k 2 x1x2 l1l 2k1k2 =-1 l1 / l 2k1k2 且b1b22、圆锥曲线方程及性质(1) 、椭圆的方程 的形式有几种？（三种形式）标准方程： x2y21(m0, n 0且mn)mn
