《数理统计作业资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数理统计作业资料（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、0348数理统计第一次作业1 论述题从一批机器零件毛坯中随机抽取8件，测得其重量(单位：kg)为：230,243, 185, 240, 228, 196, 246, 200。(1)写出总体，样本，样本值，样本容量；(2)求样本的均值，方差及二阶原点距。2设总体X服从正态分布 N , 2 ,其中 已知， 2未知，X1，X2,X3是来自总体的简 单随机样本。(1)写出样本X1，X2,X3的联合密度函数;(2)指出 X一之一0,max Xi,1 i 3 ,X1 2 3X12X22X3222-之中哪些是统计量,哪些不是统计量。3设总体X服从两点分布B (1, p),其中p是未知参数,X1,L ,X5是
2、来自总体的简单随机样本。指出 X1 X2,max Xi,1 i 5 ,X5 2p, X5552X1之中哪些是统计量， 哪些不是统计量，为什么？4设总体服从参数为的指数分布，分布密度为p(x;)求 EX,DX 和 ES2.e x, x 00, x 05设总体X服从N0,1 ,样本Xi,L ,X6来自总体X,令Y X1 X2 X32_2, _X4 X5 X6 ,求常数C,使CY服从-分布。22-各服从6设总体X服从N , 2 , Xi,L ,Xn是取自总体X的简单随机样本， X为样本均值,S2, S2分别是样本方差和样本修正方差，问下列统计量什么分布。7设总体X服从N2 , X和S2为样本均值和样
3、本修正方差，又有Xn1服从2,且与Xi,L ,Xn相互独立，试求统计量Xn1 X布。参考答案：1解:(1)总体为该批机器零件重量243,185,240,228196(2)(X1X)22a22 解：(1)服从N2Xi i 18 2302因为X服从正态分布2 一，即 p Xi故样本的联合密度函数为Sn/n 1n 1Xn 1 XS2 /- n服从什么分X,样本为Xi,L ,Xn246, 200,样本容量为 n=8;230+243+185+240+228+196+246+200230 221，样本值为230,221 ,200222L 200 221566,49336.25.而X1,X2,X3是取自总体
4、X的样本，所以有Xi,i 1,2,3,3Xi_2Je 2 2i1e3/233 2Xi 1e 2 20/、X1 X2 X3(2) ,max Xi ,133 ,Xi 2都是统计量,因为它们均不包含任何X? X? X?未知参数，而 X一X2-X不是统计量。23 解：Xi X2,max Xi,1 i 5 , X5 Xi 都是统计量，X52p不是统计量，因p是未知参数。5解：因为样本X1，L ,X6独立同分布N 0,1 ,所以X1 X2 X3服从N 0,3 ,X1X2 X3服从N 0,1，同理,3X4 X5、3XR生服从N0,12 X1X2X3,因此一123服从3,且两者相互独立,2-分布的可加性，知
5、Y/32,X4 X5 X6 服从3服从2 2 ,所以取C=1/3。6解:由定理1.3.6知2n 1 S212S服从自由度为n-1分布,由定理1.3.6的系一 X得产服从自由度为 n-1的t-分布，由Xi服从NS/ . n/曰Xi得服从Xi2服从2 1 ,由于 X1,L,Xn相互独立因此由2-分布的可加性，得nXii 17解：由X服从NX , Xn 1 服从N 0,1服从自由度为Xn 1服从Nn的2 -分布。X服从N0,UnnS2吟服从自由度为2n-1的-分布，由定理1.3.6知X与nSn2相互独立，而 Xn1与X1,L ,Xn相互独立，因此2XnL_X与吟相互独立。注意t分布的n 1X . X
6、定义Xnn 1X , X服从自由度为n-1的t-分布。由Xn 1 X服0 1 Xn 1 X0,1 ).n 1服从2又由定理1.3.6知2服从自由度为n-1的2分布,由前同理可知1 S2上 上 、工-2一相互独立。注意F分布的定义Xn1 S22Xn2 nS2/- n 1一2X服从自由度为（1n-1)的F-分布。第二次作业论述题1随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计)74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002求总体均值科及方差（T2的矩估计，并求样本方差 S2。2设总体X的概率密度为 p X,0,1 x ,0 xx 0,or,x其中1
7、为未知参数，样本Xi,X2,L ,Xn来自总体X,求未知参数的矩法估计与极大似然估计。3求均匀分布U 1, 2中参数1, 2的极大似然估计.4设连续型总体X的概率密度为p x,2xx 2-e 2 ,x 00, x 00 , Xi,X2,L ,Xn来自总体X的一个样本，求未知参数的极大似然估计量 ？，并讨论的无偏性。参考答案：1解：,b 2的矩估计是 ？ X 74.0021nCC一(Xi x)26 10 6n i 1S2 6.86 10 6。2解：首先求数学期望EX1 x dx从而解方程得的矩法估计为2X1似然函数为Lxi ,ln Ln Inln xi ,1人 d ln L令dln xi0 ,解
8、得的极大似然估计为nnlni 1Xi3解：先写出似然函数似然函数不连续,210,其他不能用似然方程求解的方法,1.n，若 1 X（1）X(n)只有回到极大似然估计的原始定义，由似然函数，注意到最大值只能发生在X(n)时；而欲L（X； 1，2）最大,只有使 2即使2尽可能小，？尽可能大，只能取r _ X ? - X1 = X(1) ,2 - X (n) 4解：似然函数为n Innlnxii 1n2xi 12dln Ldn2xnj j 令 d ln L2 2- dnXi20,得？ L-.由于2n2x222 x-e 2 d 2nEXi2x2E? 1EX2 1 x2-eFdx2n 22 0因此的极大似
9、然估计量是的无偏估计量。第三次作业论述题1设X1,X2是取自正态总体 N ,1的一个容量为2的样本，试证下列三个估计量213111都是科的无偏估计量：X1-X2,-X1X2,一X1-X2,并指出其中哪一个估计量更334422有效。2设Xi,X2,L ,Xn是取自正态总体N22的一个样本，试证SXi2的相合估计。3随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为2.14 2.10 2.13 2.15 2.132.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 设钉长服从正态分布，试求总体均值的0.9的置信区间。（1）若已知（T =0
10、.01 （厘米），（2）若（T未知。4某农场为了试验磷肥与氮肥是否提高水稻收获量，任选试验田18块，每块面积1/20亩进行试验，试验结果：不施肥的10块试验田的收获量分别为8.6, 7.9, 9.3, 10.7, 11.2, 11.4,9.8, 9.5, 10.1, 8.5 （单位：市斤），其余8块试验田在插种前施加磷肥，播种后又追施三次氮肥，其收获量分别为12.6, 10.2, 11.7, 12.3, 11.1, 10.5, 10.6, 12.2。假定施肥与不施肥的收获量都服从正态分布，且方差相等，试在置信概率0.95下，求每1/20亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产的幅度。参考答案:1解:
11、由于EXi,DXi1,i1,2 ,且XhX2独立，故有E3Xi3X23EX231，e 4X1 4XE 1X121X 2X221、，414153、，1、，915D -X1X2DX1dx2-,DX1X2,33999994416168D 1X11X21DX11DX2111-;2244442故它们均为科的无偏估计，而又由于 1/25/95/82证明：由于,所以第三个估计量更有效。n 1 S2服从自由度为n-1-分布,ES22 _ 2,DS从而根据车贝晓夫不等式有0 P S22DS20,所以Xi的相合估计。.23 解：(1)0.012,x查正态分布数值表，知161.652.142.102.112.125,置信度0.9,即 a =0.1 ,Ui/2 U0.951.65、nU1/2空2 1.65 0.004 ,所以总体均值 的0.9的置信区间.16Xr U1 /2 ,X(2) b未知212.125,s2mu12.14/22.125 0.004,2.125 0.0042.121,2.129 .22.12516 1置信度0.9,即“ =0.1,自由度n-1=15,2
